Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
v(t) = -1/2 t^2 e^(3 t)
onde t ≥ 0 é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação, C(t), sabendo que a concentração inicial é de 10 g / L (isto é, C(0) = 10 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de química onde a velocidade de consumo de um reagente é dada por (em gramas por litro por segundo). O que a gente precisa encontrar é a concentração desse reagente, , em função do tempo, sabendo que no início ( ) a concentração é de . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, pra achar como a concentração varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a taxa de variação da concentração, ou seja, . Para encontrar , precisamos integrar essa taxa em relação ao tempo.
Então, temos:

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , então:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos usar o método de integração por partes, que diz:
Escolhemos:
Então, aplicando a fórmula:

Passo 5

Ainda temos uma integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à integral anterior:

Passo 7

Agora, substituindo de volta na equação de :

Passo 8

Agora usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A concentração do reagente em função do tempo é:

Exercícios relacionados