Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
onde é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação, , sabendo que a concentração inicial é de (isto é, ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de química onde a velocidade de consumo de um reagente é dada por (em gramas por litro por segundo). O que a gente precisa encontrar é a concentração desse reagente, , em função do tempo, sabendo que no início ( ) a concentração é de . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, pra achar como a concentração varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a taxa de variação da concentração, ou seja, . Para encontrar , precisamos integrar essa taxa em relação ao tempo.
Então, temos:

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , então:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos usar o método de integração por partes, que diz:
Escolhemos:
Então, aplicando a fórmula:

Passo 5

Ainda temos uma integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à integral anterior:

Passo 7

Agora, substituindo de volta na equação de :

Passo 8

Agora usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A concentração do reagente em função do tempo é:

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Verifique que
Verifique que
Vários fenômenos que envolvem a interação da matéria com a radiação eletromagnética(luz) podem ser explicados pensando que os átomos em uma molécula não estão estáticos, mas realizam um movimento periódico, sem alterar o centro de massa da molécula, que envolve dilatações e rotações das ligações atômicas entre um ou mais átomos, este movimento é chamado de vibração molecular. A ideia central é que uma molécula só pode vibrar de algumas formas específicas que dependem de sua geometria. A energia de uma molécula quando seus átomos vibram é acrescida da energia cinética desse movimento mas, como a molécula só pode vibrar em modos de vibração específicos, ela não consegue acomodar qualquer acréscimo de energia advindo da absorção de radiação eletromagnética. Por isso (e também vários outros fenômenos omitidos para fim de simplificação), diferentes materiais absorvem luz em diferentes frequências (a luz é absorvida pela matéria em pacotes de energia proporcionais à frequência da luz, chamados fótons).
Digamos que em um desses movimentos de vibração molecular um átomo de massa em uma molécula se desloca ao longo de um eixo de acordo com a função:
onde é a posição do átomo ao longo do eixo, em relação à sua posição de repouso, no instante é uma constante que chamamos de amplitude do movimento, é uma constante chamada de frequência do movimento e é também uma constante, chamada fase inicial do movimento.
Sabendo, então, que a energia cinética de um objeto é dada por
onde é a massa do objeto e é sua velocidade, determine, em termos de (massa do átomo), e , a energia cinética, , desse átomo no instante e seu valor máximo ao longo do movimento.
Em aula, vimos que as funções seno e cosseno podem ser definidas como as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário, noutros termos o mapa que manda um no ponto é uma parametrização do círculo unitário. Isto é, a medida que percorre a reta real, percorre todo o círculo unitário. Vimos também que e são diferenciáveis e:
Considere agora as funções e e observe que elas cumprem
para todo . Ou seja, o mapa que manda no ponto parametriza a hipérbole unitária, conjunto dos pontos com , de maneira muito semelhante à que o cosseno e seno parametrizam o círculo unitário. Por essa razão, chamamos e de funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Mostre que as funções e , como definidas acima, satisfazem: