Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
onde
é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação,
, sabendo que a concentração inicial é de
(isto é,
).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de química onde a velocidade de consumo de um reagente é dada por
(em gramas por litro por segundo). O que a gente precisa encontrar é a concentração desse reagente,
, em função do tempo, sabendo que no início (
) a concentração é de
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, pra achar como a concentração varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é a taxa de variação da concentração, ou seja,
. Para encontrar
, precisamos integrar essa taxa em relação ao tempo.
Então, temos:
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, então:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar o método de integração por partes, que diz:
Escolhemos:
Então, aplicando a fórmula:
Passo 5
Ainda temos uma integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à integral anterior:
Passo 7
Agora, substituindo de volta na equação de
:
Passo 8
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A concentração do reagente em função do tempo é: