Se é auto-adjunto e é positivo, prove que E possui uma base tal que, para todo , existe com . (

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dado um operador auto-adjunto e um operador positivo no espaço , existe uma base em onde, para cada vetor dessa base, tem um número real tal que . Ou seja, estamos trabalhando com operadores lineares no contexto de álgebra linear, especificamente com operadores auto-adjuntos e positivos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e a diagonalização de operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser positivo. Um operador é positivo se, para todo vetor , temos . Além disso, como é positivo, ele também é auto-adjunto, ou seja, .

Passo 3

Agora, já que é um operador positivo e auto-adjunto, podemos dizer que é definido positivo se, além de para todo , é invertível. Vamos assumir que é definida positiva para facilitar nossa resolução.

Passo 4

Como é invertível e definida positiva, podemos definir , que é a raiz quadrada inversa de . Isso é possível porque é positiva e auto-adjunto. Agora, vamos construir um novo operador .

Passo 5

Observamos que também é auto-adjunto. Isso acontece porque, se e são auto-adjuntos, então preserve essa propriedade ao ser definido dessa maneira. Ou seja, .

Passo 6

Como é auto-adjunto em um espaço com produto interno padrão, o Teorema Espectral nos garante que existe uma base ortonormal de autovetores para . Isso significa que podemos encontrar uma base de tal que, para cada vetor , temos , onde é um autovalor correspondente.

Passo 7

Agora, voltamos à nossa base original. Se definirmos , então podemos reescrever a equação como:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Ou seja:

Passo 8

Portanto, a base , onde cada vetor está relacionado a um vetor na base ortonormal por , satisfaz a condição , com .

Resposta

Assim, mostramos que existe uma base em onde, para cada vetor , existe um número real tal que .

Exercícios relacionados

Sejam auto-adjunto e positivo. Prove:
(a) é a raiz quadrada positiva de então é auto-adjunto.
(b) é autovetor de se, e somente se, é autovetor de BA.
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
Seja um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Um subconjunto chama-se um elipsóide quando
existem uma base ortonormal e números positivos tais que é o conjunto dos vetores cujas coordenadas satisfazem a equação . Seja um operador invertível. Prove que todo elipsóide é transformado por A num elipsóide .
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Dado um subespaço vetorial qualquer de , o conjunto
é denominado complemento ortogonal de .
(b) Considere o subespaço vetorial de definido por . Obtenha uma base para e uma base para , em relação ao produto interno usual de .
Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(a) Mostre que, se são ortogonais, então para todo .