Se
é auto-adjunto e
é positivo, prove que E possui uma base
tal que, para todo
, existe
com
. (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dado um operador auto-adjunto
e um operador positivo
no espaço
, existe uma base
em
onde, para cada vetor
dessa base, tem um número real
tal que
. Ou seja, estamos trabalhando com operadores lineares no contexto de álgebra linear, especificamente com operadores auto-adjuntos e positivos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e a diagonalização de operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser positivo. Um operador
é positivo se, para todo vetor
, temos
. Além disso, como
é positivo, ele também é auto-adjunto, ou seja,
.
Passo 3
Agora, já que
é um operador positivo e auto-adjunto, podemos dizer que
é definido positivo se, além de
para todo
,
é invertível. Vamos assumir que
é definida positiva para facilitar nossa resolução.
Passo 4
Como
é invertível e definida positiva, podemos definir
, que é a raiz quadrada inversa de
. Isso é possível porque
é positiva e auto-adjunto. Agora, vamos construir um novo operador
.
Passo 5
Observamos que
também é auto-adjunto. Isso acontece porque, se
e
são auto-adjuntos, então
preserve essa propriedade ao ser definido dessa maneira. Ou seja,
.
Passo 6
Como
é auto-adjunto em um espaço com produto interno padrão, o Teorema Espectral nos garante que existe uma base ortonormal de autovetores para
. Isso significa que podemos encontrar uma base
de
tal que, para cada vetor
, temos
, onde
é um autovalor correspondente.
Passo 7
Agora, voltamos à nossa base original. Se definirmos
, então podemos reescrever a equação
como:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Ou seja:
Passo 8
Portanto, a base
, onde cada vetor
está relacionado a um vetor
na base ortonormal
por
, satisfaz a condição
, com
.
Resposta
Assim, mostramos que existe uma base
em
onde, para cada vetor
, existe um número real
tal que
.