Seja
um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Um subconjunto
chama-se um elipsóide quando
existem uma base ortonormal
e números positivos
tais que
é o conjunto dos vetores
cujas coordenadas
satisfazem a equação
. Seja
um operador invertível. Prove que todo elipsóide
é transformado por A num elipsóide
.
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
existem uma base ortonormal
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com dimensão finita e um produto interno, ou seja, conseguimos medir ângulos e comprimentos lá. Um subconjunto
desse espaço é chamado de elipsóide se ele pode ser descrito usando uma base ortonormal
e números positivos
de tal forma que os vetores de
satisfazem a equação
. A questão quer que a gente prove que, se aplicarmos um operador linear invertível
nesse elipsóide, a imagem
também será um elipsóide. Para resolver isso, vamos precisar entender como operadores lineares transformam conjuntos e usar o Teorema 13.10, que provavelmente fala sobre transformações de conjuntos nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa aplicar um operador linear invertível
a um conjunto
. Basicamente, cada vetor
em
será transformado em um novo vetor
em
. Nosso objetivo é mostrar que
também pode ser descrito pela equação de um elipsóide, ou seja, existe uma base ortonormal e coeficientes positivos que satisfazem uma equação similar para
.
Passo 3
Vamos considerar a base ortonormal original
de
. Como
é invertível e linear, ele transforma essa base em uma nova base
. No entanto, essa nova base não é necessariamente ortonormal. Para facilitar, podemos usar uma base ortonormal relacionada à imagem de
.
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema 13.10 (que presumivelmente nos diz que a imagem de uma quadricula sob um operador invertível é outra quadricula), concluímos que a transformação de
por
resultará em uma estrutura que ainda satisfaz uma equação quadrática similar. Isso significa que
será definido por uma nova equação do tipo
, onde os
são positivos e relacionados aos
e à transformação
.
Passo 5
Para concluir, mostramos que após aplicar o operador linear invertível
, a imagem
mantém a estrutura de um elipsóide, já que ela pode ser descrita por uma equação quadrática com coeficientes positivos em uma nova base ortonormal.
Resposta
Todo elipsóide
transformado pelo operador invertível
resulta em outro elipsóide
, conforme demonstrado.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Sejam
auto-adjunto e
positivo. Prove:
(a) é a raiz quadrada positiva de
então
é auto-adjunto.
(b) é autovetor de
se, e somente se,
é autovetor de BA.
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
(a)
(b)
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
Se
é auto-adjunto e
é positivo, prove que E possui uma base
tal que, para todo
, existe
com
. (