Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Um subconjunto Sigma subset E chama-se um elipsóide quando
existem uma base ortonormal u1, ldots, un subset E e números positivos a1, ldots, an tais que Sigma é o conjunto dos vetores v=x1 u1+cdots+xn un cujas coordenadas xi satisfazem a equação a1 x1^2+cdots+an xn^2=1. Seja A: E E um operador invertível. Prove que todo elipsóide Sigma é transformado por A num elipsóide Sigma^prime.
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial E com dimensão finita e um produto interno, ou seja, conseguimos medir ângulos e comprimentos lá. Um subconjunto Sigma desse espaço é chamado de elipsóide se ele pode ser descrito usando uma base ortonormal u1, ldots, un e números positivos a1, ldots, an de tal forma que os vetores de Sigma satisfazem a equação a1 x1^2 + cdots + an xn^2 = 1. A questão quer que a gente prove que, se aplicarmos um operador linear invertível A nesse elipsóide, a imagem Sigma' também será um elipsóide. Para resolver isso, vamos precisar entender como operadores lineares transformam conjuntos e usar o Teorema 13.10, que provavelmente fala sobre transformações de conjuntos nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa aplicar um operador linear invertível A a um conjunto Sigma. Basicamente, cada vetor v em Sigma será transformado em um novo vetor A(v) em Sigma'. Nosso objetivo é mostrar que Sigma' também pode ser descrito pela equação de um elipsóide, ou seja, existe uma base ortonormal e coeficientes positivos que satisfazem uma equação similar para Sigma'.

Passo 3

Vamos considerar a base ortonormal original u1, ldots, un de E. Como A é invertível e linear, ele transforma essa base em uma nova base A(u1), ldots, A(un). No entanto, essa nova base não é necessariamente ortonormal. Para facilitar, podemos usar uma base ortonormal relacionada à imagem de A.

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema 13.10 (que presumivelmente nos diz que a imagem de uma quadricula sob um operador invertível é outra quadricula), concluímos que a transformação de Sigma por A resultará em uma estrutura que ainda satisfaz uma equação quadrática similar. Isso significa que Sigma' será definido por uma nova equação do tipo b1 y1^2 + cdots + bn yn^2 = 1, onde os bi são positivos e relacionados aos ai e à transformação A.

Passo 5

Para concluir, mostramos que após aplicar o operador linear invertível A, a imagem Sigma' mantém a estrutura de um elipsóide, já que ela pode ser descrita por uma equação quadrática com coeficientes positivos em uma nova base ortonormal.

Resposta

Todo elipsóide Sigma transformado pelo operador invertível A resulta em outro elipsóide Sigma', conforme demonstrado.

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