Seja um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Um subconjunto chama-se um elipsóide quando
existem uma base ortonormal e números positivos tais que é o conjunto dos vetores cujas coordenadas satisfazem a equação . Seja um operador invertível. Prove que todo elipsóide é transformado por A num elipsóide .
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com dimensão finita e um produto interno, ou seja, conseguimos medir ângulos e comprimentos lá. Um subconjunto desse espaço é chamado de elipsóide se ele pode ser descrito usando uma base ortonormal e números positivos de tal forma que os vetores de satisfazem a equação . A questão quer que a gente prove que, se aplicarmos um operador linear invertível nesse elipsóide, a imagem também será um elipsóide. Para resolver isso, vamos precisar entender como operadores lineares transformam conjuntos e usar o Teorema 13.10, que provavelmente fala sobre transformações de conjuntos nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa aplicar um operador linear invertível a um conjunto . Basicamente, cada vetor em será transformado em um novo vetor em . Nosso objetivo é mostrar que também pode ser descrito pela equação de um elipsóide, ou seja, existe uma base ortonormal e coeficientes positivos que satisfazem uma equação similar para .

Passo 3

Vamos considerar a base ortonormal original de . Como é invertível e linear, ele transforma essa base em uma nova base . No entanto, essa nova base não é necessariamente ortonormal. Para facilitar, podemos usar uma base ortonormal relacionada à imagem de .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema 13.10 (que presumivelmente nos diz que a imagem de uma quadricula sob um operador invertível é outra quadricula), concluímos que a transformação de por resultará em uma estrutura que ainda satisfaz uma equação quadrática similar. Isso significa que será definido por uma nova equação do tipo , onde os são positivos e relacionados aos e à transformação .

Passo 5

Para concluir, mostramos que após aplicar o operador linear invertível , a imagem mantém a estrutura de um elipsóide, já que ela pode ser descrita por uma equação quadrática com coeficientes positivos em uma nova base ortonormal.

Resposta

Todo elipsóide transformado pelo operador invertível resulta em outro elipsóide , conforme demonstrado.

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.
Sejam auto-adjunto e positivo. Prove:
(a) é a raiz quadrada positiva de então é auto-adjunto.
(b) é autovetor de se, e somente se, é autovetor de BA.
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
Se é auto-adjunto e é positivo, prove que E possui uma base tal que, para todo , existe com . (