Sejam A: E E auto-adjunto e B: E E positivo. Prove:
(a) Se X é a raiz quadrada positiva de B então X A X é auto-adjunto.
(b) v é autovetor de X A X se, e somente se, X v é autovetor de BA.
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos dois operadores lineares e no espaço . é auto-adjunto, o que significa que é igual ao seu adjunto, e é positivo, ou seja, é simétrico e todos os seus autovalores são positivos. Precisamos provar três afirmações:
a) Se é a raiz quadrada positiva de , então é auto-adjunto.
b) é autovetor de se, e somente se, é autovetor de .
c) é diagonalizável, ou seja, existe uma base de formada por autovetores de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como operadores auto-adjuntos, operadores positivos, raízes quadradas de operadores, autovetores e diagonalização.

Passo 2

Começando pela parte (a). Queremos mostrar que é auto-adjunto. Lembrando que um operador é auto-adjunto se , onde é o adjunto de .
Sabemos que é auto-adjunto, ou seja, , e é a raiz quadrada positiva de , então também é auto-adjunto, pois raízes positivas de operadores positivos são auto-adjuntos.

Passo 3

Vamos calcular o adjunto de (XAX)^* = X^* A^* X^* :
X^* = X e A^* = A
Como (XAX)^* = X A X e são auto-adjuntos:
Portanto:
Isso mostra que é igual ao seu adjunto, ou seja, é auto-adjunto.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos provar que XAX v = lambda v é um autovetor de X (XAX v) = X (lambda v) implies XAXX v = lambda X v se, e somente se, BA X v = lambda X v é um autovetor de .
Vamos começar supondo que é um autovetor de , ou seja:
Aplicando em ambos os lados:
Sabendo que (já que é a raiz quadrada de ):
Isso mostra que é um autovetor de com autovalor .

Passo 5

Agora, vamos provar o contrário: se BA X v = lambda X v é um autovetor de X^2 A X v = lambda X v , então X A X v = lambda v é um autovetor de .
Assumindo que é um autovetor de :
Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por (já que é invertível por ser a raiz quadrada positiva de um operador positivo):
Portanto, é um autovetor de com autovalor .

Passo 6

Finalmente, para a parte ©, queremos mostrar que BA = X X A X X^-1 = X (XAX) X^-1 é diagonalizável, ou seja, que existe uma base de formada por autovetores de .
Sabemos que é similar a , já que:
Como é auto-adjunto (pela parte a), ele é diagonalizável e possui uma base ortonormal de autovetores. Como similaridades preservam a diagonalização, também é diagonalizável e, portanto, possui uma base de autovetores.

Resposta

Concluímos que:
a) é auto-adjunto.
b) é autovetor de se e somente se é autovetor de .
c) é diagonalizável, possuindo uma base de autovetores.

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