Sejam
auto-adjunto e
positivo. Prove:
(a)
é a raiz quadrada positiva de
então
é auto-adjunto.
(b)
é autovetor de
se, e somente se,
é autovetor de BA.
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
(a)
(b)
© E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos dois operadores lineares
e
no espaço
.
é auto-adjunto, o que significa que é igual ao seu adjunto, e
é positivo, ou seja,
é simétrico e todos os seus autovalores são positivos. Precisamos provar três afirmações:
a) Se
é a raiz quadrada positiva de
, então
é auto-adjunto.
b)
é autovetor de
se, e somente se,
é autovetor de
.
c)
é diagonalizável, ou seja, existe uma base de
formada por autovetores de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como operadores auto-adjuntos, operadores positivos, raízes quadradas de operadores, autovetores e diagonalização.
Passo 2
Começando pela parte (a). Queremos mostrar que
é auto-adjunto. Lembrando que um operador
é auto-adjunto se
, onde
é o adjunto de
.
Sabemos que
é auto-adjunto, ou seja,
, e
é a raiz quadrada positiva de
, então
também é auto-adjunto, pois raízes positivas de operadores positivos são auto-adjuntos.
Passo 3
Vamos calcular o adjunto de
:
Como
e
são auto-adjuntos:
Portanto:
Isso mostra que
é igual ao seu adjunto, ou seja,
é auto-adjunto.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos provar que
é um autovetor de
se, e somente se,
é um autovetor de
.
Vamos começar supondo que
é um autovetor de
, ou seja:
Aplicando
em ambos os lados:
Sabendo que
(já que
é a raiz quadrada de
):
Isso mostra que
é um autovetor de
com autovalor
.
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se
é um autovetor de
, então
é um autovetor de
.
Assumindo que
é um autovetor de
:
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
(já que
é invertível por ser a raiz quadrada positiva de um operador positivo):
Portanto,
é um autovetor de
com autovalor
.
Passo 6
Finalmente, para a parte ©, queremos mostrar que
é diagonalizável, ou seja, que existe uma base de
formada por autovetores de
.
Sabemos que
é similar a
, já que:
Como
é auto-adjunto (pela parte a), ele é diagonalizável e possui uma base ortonormal de autovetores. Como similaridades preservam a diagonalização,
também é diagonalizável e, portanto, possui uma base de autovetores.
Resposta
Concluímos que:
a)
é auto-adjunto.
b)
é autovetor de
se e somente se
é autovetor de
.
c)
é diagonalizável, possuindo uma base de autovetores.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Um subconjunto
chama-se um elipsóide quando
existem uma base ortonormal e números positivos
tais que
é o conjunto dos vetores
cujas coordenadas
satisfazem a equação
. Seja
um operador invertível. Prove que todo elipsóide
é transformado por A num elipsóide
.
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
existem uma base ortonormal
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Se
é auto-adjunto e
é positivo, prove que E possui uma base
tal que, para todo
, existe
com
. (
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Dado um subespaço vetorial
qualquer de
, o conjunto
é denominado complemento ortogonal de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de definido por
. Obtenha uma base para
e uma base para
, em relação ao produto interno usual de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de