Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Dado um subespaço vetorial
qualquer de
, o conjunto
é denominado complemento ortogonal de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de
definido por
. Obtenha uma base para
e uma base para
, em relação ao produto interno usual de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com produto interno padrão. Foi dado um subespaço
definido pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar duas coisas:
- Uma base para
: Ou seja, encontrar um conjunto de vetores que gerem todo o subespaço e sejam linearmente independentes. - Uma base para
: O complemento ortogonal de , que consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço
. A equação que define
é
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
deve satisfazer essa condição. Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras para parametrizar os vetores de
.
Vamos escolher expressar
em função das outras variáveis:
Agora, podemos escrever um vetor genérico em
como:
Podemos separar isso em termos das variáveis livres
,
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
,
e
. Portanto, esses vetores formam uma base para
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para o complemento ortogonal
. Por definição,
consiste em todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
.
Para encontrar
, podemos usar a seguinte propriedade: se
é definido pela equação
, então
é gerado pelo vetor
.
No nosso caso, a equação que define
é
, então o vetor normal a
é
. Portanto,
é o conjunto de todos os múltiplos escalares desse vetor.
Assim, uma base para
é simplesmente o vetor
.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e uma base para
é o vetor
.