Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Dado um subespaço vetorial S qualquer de V, o conjunto
S^perp=z in V midlang<= z, wrang<==0 forall w in S
é denominado complemento ortogonal de S.
(b) Considere o subespaço vetorial de R^4 definido por S=(x, y, z, w) in R^4 mid x-y+z-t=0. Obtenha uma base para S e uma base para S^perp, em relação ao produto interno usual de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com produto interno padrão. Foi dado um subespaço definido pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar duas coisas:
  1. Uma base para : Ou seja, encontrar um conjunto de vetores que gerem todo o subespaço e sejam linearmente independentes.
  2. Uma base para : O complemento ortogonal de , que consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço x = y - z + t . A equação que define (x, y, z, t) = (y - z + t, y, z, t) é (x, y, z, t) = y cdot (1, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) + t cdot (1, 0, 0, 1) . Isso quer dizer que qualquer vetor em deve satisfazer essa condição. Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras para parametrizar os vetores de .
Vamos escolher expressar em função das outras variáveis:
Agora, podemos escrever um vetor genérico em como:
Podemos separar isso em termos das variáveis livres , e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores , e . Portanto, esses vetores formam uma base para .

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para o complemento ortogonal . Por definição, consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em .
Para encontrar , podemos usar a seguinte propriedade: se é definido pela equação , então é gerado pelo vetor .
No nosso caso, a equação que define é , então o vetor normal a é . Portanto, é o conjunto de todos os múltiplos escalares desse vetor.
Assim, uma base para é simplesmente o vetor .

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e uma base para é o vetor .

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