Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Dado um subespaço vetorial qualquer de , o conjunto
é denominado complemento ortogonal de .
(b) Considere o subespaço vetorial de definido por . Obtenha uma base para e uma base para , em relação ao produto interno usual de .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com produto interno padrão. Foi dado um subespaço definido pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar duas coisas:
1. **Uma base para **: Ou seja, encontrar um conjunto de vetores que gerem todo o subespaço e sejam linearmente independentes.
2. **Uma base para **: O complemento ortogonal de , que consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço . A equação que define é . Isso quer dizer que qualquer vetor em deve satisfazer essa condição. Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras para parametrizar os vetores de .
Vamos escolher expressar em função das outras variáveis:
Agora, podemos escrever um vetor genérico em como:
Podemos separar isso em termos das variáveis livres , e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores , e . Portanto, esses vetores formam uma base para .
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para o complemento ortogonal . Por definição, consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em .
Para encontrar , podemos usar a seguinte propriedade: se é definido pela equação , então é gerado pelo vetor .
No nosso caso, a equação que define é , então o vetor normal a é . Portanto, é o conjunto de todos os múltiplos escalares desse vetor.
Assim, uma base para é simplesmente o vetor .
Resposta
Uma base para é formada pelos vetores e uma base para é o vetor .
Exercícios relacionados
Se é auto-adjunto e é positivo, prove que E possui uma base tal que, para todo , existe com . (
Sejam auto-adjunto e positivo. Prove:
(a) é a raiz quadrada positiva de então é auto-adjunto.
(b) é autovetor de se, e somente se, é autovetor de BA.
(c) E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(a) Mostre que, se são ortogonais, então para todo .
Prove que é um subespaço vetorial de .