Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(a) Mostre que, se são ortogonais, então para todo .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, em um espaço vetorial com produto interno sobre os reais, se dois vetores e são ortogonais, então a norma de é sempre maior ou igual à norma de para qualquer número real . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto interno, ortogonalidade e norma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Em termos de produto interno, e são ortogonais se o produto interno deles é zero, ou seja, . Isso é parecido com dizer que eles são perpendiculares no espaço euclidiano que a maioria de nós conhece.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de . A norma de um vetor em um espaço com produto interno é definida por:
Mas para facilitar a nossa vida, vamos trabalhar com o quadrado da norma, assim evitamos a raiz no meio do caminho:

Passo 4

Vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva:

Passo 5

Como e são ortogonais, sabemos que . Então, a expressão fica mais simples:

Passo 6

Relembrando que é a norma de ao quadrado, ou seja, , e similarmente , temos:

Passo 7

Observamos que sempre é um número não negativo, já que é o produto de um quadrado com uma norma ao quadrado. Portanto:

Passo 8

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para retornar à norma original, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que se e são ortogonais, então para todo .

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Dado um subespaço vetorial qualquer de , o conjunto
é denominado complemento ortogonal de .
(b) Considere o subespaço vetorial de definido por . Obtenha uma base para e uma base para , em relação ao produto interno usual de .
Se é auto-adjunto e é positivo, prove que E possui uma base tal que, para todo , existe com . (
Prove que é um subespaço vetorial de .
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de .