Considere V um espaço vetorial sobre R, com produto interno.
(a) Mostre que, se u, v in V são ortogonais, então |u+lambda v| >=|u| para todo lambda in R.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, em um espaço vetorial V com produto interno sobre os reais, se dois vetores u e v são ortogonais, então a norma de u + lambda v é sempre maior ou igual à norma de u para qualquer número real lambda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto interno, ortogonalidade e norma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Em termos de produto interno, u e v são ortogonais se o produto interno deles é zero, ou seja, lang<= u, v rang<= = 0. Isso é parecido com dizer que eles são perpendiculares no espaço euclidiano que a maioria de nós conhece.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de u + lambda v. A norma de um vetor em um espaço com produto interno é definida por:
|u + lambda v| = raizlang<= u + lambda v, u + lambda v rang<=
Mas para facilitar a nossa vida, vamos trabalhar com o quadrado da norma, assim evitamos a raiz no meio do caminho:
|u + lambda v|^2 = lang<= u + lambda v, u + lambda v rang<=

Passo 4

Vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva:
|u + lambda v|^2 = lang<= u, u rang<= + 2lambda lang<= u, v rang<= + lambda^2 lang<= v, v rang<=

Passo 5

Como u e v são ortogonais, sabemos que lang<= u, v rang<= = 0. Então, a expressão fica mais simples:
|u + lambda v|^2 = lang<= u, u rang<= + lambda^2 lang<= v, v rang<=

Passo 6

Relembrando que lang<= u, u rang<= é a norma de u ao quadrado, ou seja, |u|^2, e similarmente lang<= v, v rang<= = |v|^2, temos:
|u + lambda v|^2 = |u|^2 + lambda^2 |v|^2

Passo 7

Observamos que lambda^2 |v|^2 sempre é um número não negativo, já que é o produto de um quadrado com uma norma ao quadrado. Portanto:
|u + lambda v|^2 >= |u|^2

Passo 8

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para retornar à norma original, obtemos:
|u + lambda v| >= |u|

Resposta

Portanto, mostramos que se u e v são ortogonais, então |u + lambda v| >= |u| para todo lambda in R.

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