Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(a) Mostre que, se
são ortogonais, então
para todo
.
(a) Mostre que, se
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, em um espaço vetorial
com produto interno sobre os reais, se dois vetores
e
são ortogonais, então a norma de
é sempre maior ou igual à norma de
para qualquer número real
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto interno, ortogonalidade e norma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Em termos de produto interno,
e
são ortogonais se o produto interno deles é zero, ou seja,
. Isso é parecido com dizer que eles são perpendiculares no espaço euclidiano que a maioria de nós conhece.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de
. A norma de um vetor em um espaço com produto interno é definida por:
Mas para facilitar a nossa vida, vamos trabalhar com o quadrado da norma, assim evitamos a raiz no meio do caminho:
Passo 4
Vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva:
Passo 5
Como
e
são ortogonais, sabemos que
. Então, a expressão fica mais simples:
Passo 6
Relembrando que
é a norma de
ao quadrado, ou seja,
, e similarmente
, temos:
Passo 7
Observamos que
sempre é um número não negativo, já que é o produto de um quadrado com uma norma ao quadrado. Portanto:
Passo 8
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para retornar à norma original, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que se
e
são ortogonais, então
para todo
.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Dado um subespaço vetorial
qualquer de
, o conjunto
é denominado complemento ortogonal de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de definido por
. Obtenha uma base para
e uma base para
, em relação ao produto interno usual de
.
(b) Considere o subespaço vetorial de
Se
é auto-adjunto e
é positivo, prove que E possui uma base
tal que, para todo
, existe
com
. (
Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.