Se
é auto-adjunto, prove que, para todo
, o operador
também é auto-adjunto. Se
, prove que
0 . Se
e
é invertível, prove que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador
que é auto-adjunto. Nosso objetivo é mostrar três coisas:
- Para qualquer operador
em , o operador também é auto-adjunto. - Se
(ou seja, é semi-definido positivo), então . - Se
(positivo definido) e é invertível, então .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser auto-adjunto, como funciona a operação de adjunto (
), e as propriedades de operadores positivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador
é auto-adjunto se ele é igual ao seu adjunto, ou seja:
Aqui,
representa o operador adjunto de
. O adjunto tem a propriedade de que para todos os vetores
e
em
:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é auto-adjunto. Para isso, precisamos verificar se:
Vamos usar algumas propriedades dos adjuntos:
- O adjunto do produto de operadores é o produto dos adjuntos na ordem inversa.
- O adjunto do adjunto é o operador original (
).
Então,
Passo 4
Sabemos que
é auto-adjunto, então
. Substituindo isso na expressão anterior:
Portanto,
é igual ao seu adjunto, ou seja, é auto-adjunto.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: se
, queremos mostrar que
.
Um operador
é dito semi-definido positivo (
) se para todo vetor
em
:
Passo 6
Vamos calcular
para um vetor qualquer
:
Isso ocorre porque
é o adjunto de
, então
.
Passo 7
Como
, sabemos que
para todo
. Portanto:
Isso significa que
também é semi-definido positivo, ou seja,
.
Passo 8
Por fim, vamos mostrar que se
(ou seja,
é positivo definido) e
é invertível, então
.
Um operador
é positivo definido (
) se para todo vetor
em
:
Passo 9
Como
é invertível, para qualquer
,
. Vamos calcular novamente:
Como
e
:
Passo 10
Portanto, para todo
:
Isso mostra que
é positivo definido, ou seja,
.
Resposta
Com isso, provamos que:
-
é auto-adjunto. - Se
, então . - Se
e é invertível, então .
Exercícios relacionados
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.
Dados os vetores
e
, -2 ), seja
o operador linear tal que
,
e
. Prove que
é auto-adjunto.
Se dois operadores auto-adjuntos
comutam, prove que o espaço
possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove também a recíproca.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.