Se é auto-adjunto, prove que, para todo , o operador também é auto-adjunto. Se , prove que 0 . Se e é invertível, prove que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador que é auto-adjunto. Nosso objetivo é mostrar três coisas:
  1. Para qualquer operador em , o operador também é auto-adjunto.
  2. Se (ou seja, é semi-definido positivo), então .
  3. Se (positivo definido) e é invertível, então .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser auto-adjunto, como funciona a operação de adjunto ( ), e as propriedades de operadores positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador é auto-adjunto se ele é igual ao seu adjunto, ou seja:
Aqui, representa o operador adjunto de . O adjunto tem a propriedade de que para todos os vetores e em :

Passo 3

Agora, queremos mostrar que é auto-adjunto. Para isso, precisamos verificar se:
Vamos usar algumas propriedades dos adjuntos:
  1. O adjunto do produto de operadores é o produto dos adjuntos na ordem inversa.
  2. O adjunto do adjunto é o operador original ( ).
Então,

Passo 4

Sabemos que é auto-adjunto, então . Substituindo isso na expressão anterior:
Portanto, é igual ao seu adjunto, ou seja, é auto-adjunto.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: se , queremos mostrar que .
Um operador é dito semi-definido positivo ( ) se para todo vetor em :

Passo 6

Vamos calcular para um vetor qualquer :
Isso ocorre porque é o adjunto de , então .

Passo 7

Como , sabemos que para todo . Portanto:
Isso significa que também é semi-definido positivo, ou seja, .

Passo 8

Por fim, vamos mostrar que se (ou seja, é positivo definido) e é invertível, então .
Um operador é positivo definido ( ) se para todo vetor em :

Passo 9

Como é invertível, para qualquer , . Vamos calcular novamente:
Como e :

Passo 10

Portanto, para todo :
Isso mostra que é positivo definido, ou seja, .

Resposta

Com isso, provamos que:
  1. é auto-adjunto.
  2. Se , então .
  3. Se e é invertível, então .

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