Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma base e a dimensão de um subespaço
de
. A gente vai precisar entender de espaços vetoriais, o que é uma base e como determinar a dimensão. Basicamente, vamos identificar vetores que geram todo o subespaço e ver quantos vetores precisamos para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os vetores de
são definidos. A gente tem
. Isso significa que qualquer vetor em
tem a terceira coordenada
igual a zero e a segunda coordenada
igual a cinco vezes a primeira coordenada
.
Passo 3
Vamos expressar esses vetores de forma mais simples. Como
e
, podemos escrever qualquer vetor
de
como:
Passo 4
Agora, vemos que todo vetor em
é múltiplo escalar do vetor
. Isso significa que
é gerado por apenas esse vetor. Portanto,
é uma base para
.
Passo 5
Para determinar a dimensão de
, contamos quantos vetores há na base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão de
é 1.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 1.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, -2 ), seja
o operador linear tal que
,
e
. Prove que
é auto-adjunto.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Se
é auto-adjunto, prove que, para todo
, o operador
também é auto-adjunto. Se
, prove que
0 . Se
e
é invertível, prove que
.
Se dois operadores auto-adjuntos
comutam, prove que o espaço
possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove também a recíproca.