Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de R^3.
8.3 S=(x, y, z) in R^3: z=0, y=5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma base e a dimensão de um subespaço de . A gente vai precisar entender de espaços vetoriais, o que é uma base e como determinar a dimensão. Basicamente, vamos identificar vetores que geram todo o subespaço e ver quantos vetores precisamos para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os vetores de são definidos. A gente tem . Isso significa que qualquer vetor em tem a terceira coordenada igual a zero e a segunda coordenada igual a cinco vezes a primeira coordenada .

Passo 3

Vamos expressar esses vetores de forma mais simples. Como (x, y, z) = (x, 5x, 0) = x cdot (1, 5, 0) e , podemos escrever qualquer vetor de como:

Passo 4

Agora, vemos que todo vetor em é múltiplo escalar do vetor . Isso significa que é gerado por apenas esse vetor. Portanto, é uma base para .

Passo 5

Para determinar a dimensão de , contamos quantos vetores há na base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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