Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma base e a dimensão de um subespaço de . A gente vai precisar entender de espaços vetoriais, o que é uma base e como determinar a dimensão. Basicamente, vamos identificar vetores que geram todo o subespaço e ver quantos vetores precisamos para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os vetores de são definidos. A gente tem . Isso significa que qualquer vetor em tem a terceira coordenada igual a zero e a segunda coordenada igual a cinco vezes a primeira coordenada .

Passo 3

Vamos expressar esses vetores de forma mais simples. Como e , podemos escrever qualquer vetor de como:

Passo 4

Agora, vemos que todo vetor em é múltiplo escalar do vetor . Isso significa que é gerado por apenas esse vetor. Portanto, é uma base para .

Passo 5

Para determinar a dimensão de , contamos quantos vetores há na base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , -2 ), seja o operador linear tal que , e . Prove que é auto-adjunto.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .
Se é auto-adjunto, prove que, para todo , o operador também é auto-adjunto. Se , prove que 0 . Se e é invertível, prove que .
Se dois operadores auto-adjuntos comutam, prove que o espaço possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove também a recíproca.