Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^2. Represente geometricamente.
2.3 S=(x, y) in R^2: y=-3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de e também representar isso geometricamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é ou não um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição vetorial.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Então, para ser um subespaço, ele precisa cumprir essas três condições.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se 0 = -3 times 0 contém o vetor zero. O vetor zero em 0 = 0 é . Substituindo na equação :
Isso é verdadeiro, então contém o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos ver se y1 = -3x1 é fechado sob adição vetorial. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em y2 = -3x2 , a soma deles também deve estar em (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, -3x1 - 3x2) = (x1 + x2, -3(x1 + x2)) . Vamos supor que temos dois vetores e em . Então:
Somando os dois vetores:
A gente vê que , então a soma também satisfaz a equação . Logo, é fechado sob adição.

Passo 5

Por último, vamos checar se y = -3x é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplica um vetor de (kx, ky) = (kx, k(-3x)) = (kx, -3(kx)) por qualquer número real , o resultado também deve estar em . Pegando um vetor em , temos:
Multiplicando por :
Aqui, se transforma em mesmo após a multiplicação, então o vetor resultante também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

Passo 7

Agora, para representar geometricamente, é a reta que passa pela origem (porque contém o vetor zero) e tem inclinação -3. Isso significa que para cada aumento de 1 na coordenada , a coordenada diminui em 3 unidades. No plano cartesiano, essa reta desce rapidamente da esquerda para a direita.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de . Geometricamente, é a reta que passa pela origem com inclinação -3 no plano cartesiano.

Exercícios relacionados