Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto
. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto
é um subespaço vetorial de
e também representar isso geometricamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é ou não um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição vetorial.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Então, para
ser um subespaço, ele precisa cumprir essas três condições.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Isso é verdadeiro, então
contém o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição vetorial. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos supor que temos dois vetores
e
em
. Então:
Somando os dois vetores:
A gente vê que
, então a soma também satisfaz a equação
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 5
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplica um vetor de
por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
. Pegando um vetor
em
, temos:
Multiplicando por
:
Aqui,
se transforma em
mesmo após a multiplicação, então o vetor resultante também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como
satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Agora, para representar geometricamente,
é a reta que passa pela origem (porque contém o vetor zero) e tem inclinação -3. Isso significa que para cada aumento de 1 na coordenada
, a coordenada
diminui em 3 unidades. No plano cartesiano, essa reta desce rapidamente da esquerda para a direita.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
. Geometricamente,
é a reta que passa pela origem com inclinação -3 no plano cartesiano.