Dados os vetores e , -2 ), seja o operador linear tal que , e . Prove que é auto-adjunto.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá três vetores no espaço tridimensional: , e . Também temos um operador linear que transforma esses vetores em outros vetores específicos:
Nosso objetivo é provar que é auto-adjunto, ou seja, que é igual ao seu adjunto (a transposta de ). Para isso, vamos precisar entender conceitos de operadores lineares, matrizes associadas e o que significa ser auto-adjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que todo operador linear pode ser representado por uma matriz 3x3. Para encontrar essa matriz, vamos usar os vetores como base do espaço. Isso significa que podemos escrever qualquer vetor em como combinação linear desses três vetores.
Dado que transforma em , podemos montar a matriz de colocando como colunas dessa matriz. Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora que temos a matriz de , precisamos verificar se ela é igual à sua transposta . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Vamos calcular :

Passo 4

Comparando e :
Observamos que nem todos os elementos correspondentes são iguais. Por exemplo, e . Isso indica que a matriz não é igual à sua transposta .

Passo 5

No entanto, para provar que é auto-adjunto, precisamos que . Como vimos que , isso sugere que não é auto-adjunto. Mas há uma sutileza aqui: se os vetores não forem ortonormais, a matriz que representa na base pode não ser simétrica mesmo que seja auto-adjunto no espaço padrão.
Para confirmar se é auto-adjunto, precisamos verificar se o operador preserva o produto interno, ou seja, se para todos os vetores .

Passo 6

Vamos calcular alguns produtos internos para verificar essa propriedade. Escolhemos, por exemplo, e :
Como , essa igualdade é satisfeita para esses vetores.

Passo 7

Vamos verificar outro par de vetores, por exemplo, e :
Novamente, .

Passo 8

Por fim, vamos verificar com e :
Mais uma vez, .

Resposta

Como todos os produtos internos satisfazem para os vetores testados, concluímos que o operador linear é auto-adjunto.

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Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de .
Se é auto-adjunto, prove que, para todo , o operador também é auto-adjunto. Se , prove que 0 . Se e é invertível, prove que .