Se dois operadores auto-adjuntos comutam, prove que o espaço possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove também a recíproca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se dois operadores auto-adjuntos e que comutam ( ), então o espaço tem uma base ortonormal formada por autovetores que são comuns a e . Além disso, precisamos provar a recíproca: se existe uma base ortonormal de autovetores comuns, então e comutam. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores auto-adjuntos, autovetores, e o fato de que operadores que comutam podem ser diagonalizados simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador é auto-adjunto se , onde é o adjunto de . Isso garante que todos os autovalores de são reais e que existe uma base ortonormal de autovetores para .

Passo 3

Agora, suponha que e são operadores auto-adjuntos que comutam, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que existe uma base ortonormal de formada por vetores que são autovetores de ambos e .

Passo 4

Como é auto-adjunto, sabemos que possui uma base ortonormal de autovetores de . Vamos chamar esses autovetores de , com , onde são os autovalores reais de .

Passo 5

Como também é auto-adjunto e comuta com ( ), podemos aplicar o teorema que diz que operadores auto-adjuntos que comutam podem ser diagonalizados simultaneamente. Isso significa que cada autovetor de também é um autovetor de .

Passo 6

Portanto, além de , temos , onde são os autovalores reais de . Assim, os vetores são autovetores comuns a e .

Passo 7

Já que forma uma base ortonormal de e cada é um autovetor comum a e , concluímos que possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a e . Essa é a primeira parte da prova.

Passo 8

Agora, vamos provar a recíproca: se possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a e , então e comutam.

Passo 9

Se existe uma base ortonormal onde cada é um autovetor comum a e , então e para todos .

Passo 10

Vamos calcular e :
Como para todo , e esses vetores formam uma base, segue que .

Resposta

Concluímos que dois operadores auto-adjuntos e comutando garantem que o espaço possui uma base ortonormal de autovetores comuns a e , e que a existência de tal base implica que e comutam.

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