Se dois operadores auto-adjuntos
comutam, prove que o espaço
possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove também a recíproca.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se dois operadores auto-adjuntos
e
que comutam (
), então o espaço
tem uma base ortonormal formada por autovetores que são comuns a
e
. Além disso, precisamos provar a recíproca: se existe uma base ortonormal de autovetores comuns, então
e
comutam. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores auto-adjuntos, autovetores, e o fato de que operadores que comutam podem ser diagonalizados simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador
é auto-adjunto se
, onde
é o adjunto de
. Isso garante que todos os autovalores de
são reais e que existe uma base ortonormal de autovetores para
.
Passo 3
Agora, suponha que
e
são operadores auto-adjuntos que comutam, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que existe uma base ortonormal de
formada por vetores que são autovetores de ambos
e
.
Passo 4
Como
é auto-adjunto, sabemos que
possui uma base ortonormal de autovetores de
. Vamos chamar esses autovetores de
, com
, onde
são os autovalores reais de
.
Passo 5
Como
também é auto-adjunto e comuta com
(
), podemos aplicar o teorema que diz que operadores auto-adjuntos que comutam podem ser diagonalizados simultaneamente. Isso significa que cada autovetor
de
também é um autovetor de
.
Passo 6
Portanto, além de
, temos
, onde
são os autovalores reais de
. Assim, os vetores
são autovetores comuns a
e
.
Passo 7
Já que
forma uma base ortonormal de
e cada
é um autovetor comum a
e
, concluímos que
possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a
e
. Essa é a primeira parte da prova.
Passo 8
Agora, vamos provar a recíproca: se
possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a
e
, então
e
comutam.
Passo 9
Se existe uma base ortonormal
onde cada
é um autovetor comum a
e
, então
e
para todos
.
Passo 10
Vamos calcular
e
:
Como
para todo
, e esses vetores formam uma base, segue que
.
Resposta
Concluímos que dois operadores auto-adjuntos
e
comutando
garantem que o espaço
possui uma base ortonormal de autovetores comuns a
e
, e que a existência de tal base implica que
e
comutam.
Exercícios relacionados
Se
é auto-adjunto, prove que, para todo
, o operador
também é auto-adjunto. Se
, prove que
0 . Se
e
é invertível, prove que
.
Determine uma base e a dimensão, para cada um dos seguintes subespaços de
.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.