Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
. Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. O enunciado que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e como encontrar soluções gerais usando métodos específicos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que ignoramos o termo do lado direito e resolvemos a equação sem ele.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos achar a equação característica. Substituímos por e obtemos:
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original. Como o lado direito é , assumimos uma solução na forma:
Aqui, , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial original:
Após substituir, obtemos:

Passo 8

Simplificamos os termos:
Combinando os termos semelhantes:

Passo 9

Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 10

Agora que temos , e , substituímos de volta na expressão de :
Podemos simplificar os coeficientes para facilitar a leitura:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas: