Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
y^prime prime+3 y^prime=-48 x^2 e^3 x. Resp: y=c1+c2 e^-3 x+(-2827+8 x3-8 x^23) e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. O enunciado que temos é:
y'' + 3 y' = -48 x^2 e^3 x
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e como encontrar soluções gerais usando métodos específicos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3 y' = 0
Isso significa que ignoramos o termo do lado direito e resolvemos a equação sem ele.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos achar a equação característica. Substituímos r^2 + 3 r = 0 por r(r + 3) = 0 implies r = 0 ou r = -3 e obtemos:
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 4

Com as raízes yh = C1 + C2 e^-3 x e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original. Como o lado direito é yp = e^3x (A x^2 + B x + C) , assumimos uma solução na forma:
Aqui, , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp' = e^3x (3)(A x^2 + B x + C) + e^3x (2A x + B) = e^3x (3A x^2 + (3B + 2A) x + (3C + B)) :
Primeira derivada:
yp'' = e^3x (9A x^2 + (6A + 9B) x + (6A + 6B + 9C))
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos yp'' + 3 yp' = -48 x^2 e^3x , e^3x (9A x^2 + (6A + 9B) x + (6A + 6B + 9C)) + 3 e^3x (3A x^2 + (3B + 2A) x + (3C + B)) = -48 x^2 e^3x e na equação diferencial original:
Após substituir, obtemos:

Passo 8

Simplificamos os termos:
e^3x [9A x^2 + (6A + 9B) x + (6A + 6B + 9C) + 9A x^2 + (9B + 6A) x + (9C + 3B)] = -48 x^2 e^3x
Combinando os termos semelhantes:
e^3x [18A x^2 + (12A + 18B) x + (12A + 9B + 18C)] = -48 x^2 e^3x

Passo 9

Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Para 18A = -48 implies A = -4818 = -83 :
12A + 18B = 0 implies 12(-83) + 18B = 0 implies -32 + 18B = 0 implies B = 3218 = 169
Para 12A + 9B + 18C = 0 implies 12(-83) + 9(169) + 18C = 0 implies -32 + 16 + 18C = 0 implies 18C = 16 implies C = 1618 = 89 :
Para o termo constante:

Passo 10

Agora que temos yp = e^3x ( -83 x^2 + 169 x + 89 ) , yp = e^3x ( -8x^23 + 8x3 - 2827 ) e , substituímos de volta na expressão de :
Podemos simplificar os coeficientes para facilitar a leitura:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 + C2 e^-3 x + ( -2827 + 8x3 - 8x^23 ) e^3x

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