Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. O enunciado que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e como encontrar soluções gerais usando métodos específicos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que ignoramos o termo do lado direito e resolvemos a equação sem ele.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos achar a equação característica. Substituímos
por
e obtemos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original. Como o lado direito é
, assumimos uma solução na forma:
Aqui,
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Após substituir, obtemos:
Passo 8
Simplificamos os termos:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 9
Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 10
Agora que temos
,
e
, substituímos de volta na expressão de
:
Podemos simplificar os coeficientes para facilitar a leitura:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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quando a distribuição tem raio
, massa
e é acrescentada uma camada infinitesimal de espessura
e massa
. Se a esfera de raio final
e massa
, integre o resultado e mostre que a autoenergia gravitacional é:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas: