A autoindutância e capacitância de um circuito oscilante são L=30 mH e C =2,0 mu F, respectivamente. (a) Qual é a frequência angular das oscilações? (b) Se a diferença de potencial máxima entre as placas do capacitor é 50 V , qual é a corrente máxima no circuito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito oscilante que envolve uma bobina (indutância) de e um capacitor (capacitância) de . Precisamos descobrir duas coisas: (a) a frequência angular das oscilações e (b) a corrente máxima no circuito quando a diferença de potencial máxima no capacitor é de 50 V. Vamos usar conceitos de circuitos LC para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, para achar a frequência angular ( omega = 1raizL cdot C ) das oscilações, usamos a fórmula da frequência em um circuito LC:
L = 30 , mH = 30 times 10^-3 , H
Aqui, C = 2,0 , muF = 2,0 times 10^-6 , F é a indutância e omega = 1raiz30 times 10^-3 , H times 2,0 times 10^-6 , F é a capacitância. Vamos substituir os valores, mas antes convertemos as unidades para as padrão do Sistema Internacional (SI):
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dentro da raiz:
30 times 10^-3 times 2,0 times 10^-6 = 60 times 10^-9 = 6,0 times 10^-8
Então:
omega = 1raiz6,0 times 10^-8 = 17,746 times 10^-4 approx 1290 , rad/s

Passo 4

Agora, para encontrar a corrente máxima ( 12 C Vmax^2 = 12 L Imax^2 ) no circuito quando a diferença de potencial máxima ( Imax = Vmax raizCL ) no capacitor é de 50 V, usamos a conservação de energia. A energia armazenada no capacitor no ponto máximo de carga é igual à energia armazenada na bobina no ponto máximo de corrente:
Imax = 50 , V times raiz2,0 times 10^-6 , F30 times 10^-3 , H
Podemos simplificar cancelando os e rearranjando para :
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando dentro da raiz:
2,0 times 10^-630 times 10^-3 = 2,030 times 10^-3 = 115 times 10^-3 approx 6,666 times 10^-5
Então:
Imax = 50 times raiz6,666 times 10^-5 approx 50 times 0,00816 approx 0,408 , A

Resposta

(a) A frequência angular das oscilações é aproximadamente .
(b) A corrente máxima no circuito é aproximadamente .

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