Um circuito RLC em série tem L=10 mH, C=1,5 mu F e R=2,0 Omega. Quanto tempo seria preciso para que a amplitude das oscilações caísse para metade do valor inicial?

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um circuito RLC em série com L = 10 mH, C = 1,5 μF e R = 2,0 Ω. A pergunta é: quanto tempo leva para a amplitude das oscilações nesse circuito cair para a metade do valor inicial? Vamos precisar entender um pouco sobre como circuitos RLC funcionam e como a resistência afeta a diminuição da amplitude das oscilações.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que em um circuito RLC em série, a resistência ® causa uma “atuação” que faz com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo. Esse fenômeno é conhecido como amortecimento. A equação que descreve como a amplitude decresce ao longo do tempo é:
A(t) = A0 e^-alpha t
Aqui, é a amplitude em qualquer tempo , é a amplitude inicial, e é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Agora, vamos descobrir o valor de alpha = R2L . No caso de um circuito RLC em série, alpha = 2,02 times 0,01 = 2,00,02 = 100 , s^-1 é dado por:
Onde:
  • é a resistência,
  • é a indutância.
Vamos substituir os valores que temos:

Passo 4

Queremos encontrar o tempo A02 = A0 e^-alpha t em que a amplitude cai para metade, ou seja, 12 = e^-alpha t . Vamos usar a equação da amplitude:
ln(12) = -alpha t
Dividindo ambos os lados por -ln(2) = -100 t :
t = ln(2)100 approx 0,693100 approx 0,00693 , segundos
Agora, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Resposta

O tempo necessário para que a amplitude das oscilações caia para metade do valor inicial é aproximadamente 0,00693 segundos.

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