Em um automóvel, a massa m do carro é 1.210^6 g, a constante da mola k vale 1,25 * 10^9 g/s^2 e o amortecimento c corresponde a 1,4 * 10^7 g/s.
Sabe-se que o deslocamento vertical do centro de gravidade do carro é dado por:
x(t) = x0(t) * e^(-n * t) * (cos(p * t) + n / p * sen(p * t))
Em que x_0 é o deslocamento provocado por um buraco, sendo:
N = c / (2 * m), p = sqrt(k / m - c^2 / (4 * m^2)), k / m > c^2 / (4 * m^2).
Calcular os três primeiros instantes em que o CG passa por sua posição de equilíbrio, isto é, x = 0. (erro menor que 0,1 % )
Obs: Sqrt significa raiz quadrada ((k/m-c c^2 / (4 m^2) )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento vertical do centro de gravidade (CG) de um carro quando ele passa por um buraco na estrada. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento harmônico amortecido, que envolve massa, mola e amortecimento. Para resolver, vamos precisar usar algumas fórmulas de física que descrevem esse tipo de movimento, calcular alguns parâmetros como a constante da mola, o amortecimento e, finalmente, encontrar os primeiros três instantes de tempo em que o CG passa pela posição de equilíbrio (ou seja, quando o deslocamento é zero).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e calcular os parâmetros que vamos usar:
  • Massa do carro ( m): 1.210^6 g
  • Constante da mola ( k):
  • Amortecimento ( c):
Agora, vamos calcular N e p usando as fórmulas fornecidas:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos p:
Primeiro, calculamos cada parte dentro da raiz:
Subtraindo:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os instantes t em que o deslocamento . A função do deslocamento é dada por:
Como e nunca são zero, para que , precisamos que:
Vamos resolver essa equação:
Tomando o inverso cotangente de ambos os lados:
Sabendo que , podemos reescrever:
Agora, substituindo os valores de e que calculamos:
p
Calculando n:
Agora, para , encontramos os três primeiros instantes:
Para :
Para k = 0:
Para k=1:

Resposta

Os três primeiros instantes em que o centro de gravidade do carro passa pela posição de equilíbrio são aproximadamente:

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