Em um automóvel, a massa do carro é , a constante da mola vale e o amortecimento c corresponde a .
Sabe-se que o deslocamento vertical do centro de gravidade do carro é dado por:
Em que é o deslocamento provocado por um buraco, sendo:
.
Calcular os três primeiros instantes em que o CG passa por sua posição de equilíbrio, isto é, . (erro menor que )
Obs: Sqrt significa raiz quadrada ((k/m-c )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento vertical do centro de gravidade (CG) de um carro quando ele passa por um buraco na estrada. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento harmônico amortecido, que envolve massa, mola e amortecimento. Para resolver, vamos precisar usar algumas fórmulas de física que descrevem esse tipo de movimento, calcular alguns parâmetros como a constante da mola, o amortecimento e, finalmente, encontrar os primeiros três instantes de tempo em que o CG passa pela posição de equilíbrio (ou seja, quando o deslocamento é zero).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e calcular os parâmetros que vamos usar:
  • Massa do carro ( ):
  • Constante da mola ( ):
  • Amortecimento ( ):
Agora, vamos calcular e usando as fórmulas fornecidas:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos :
Primeiro, calculamos cada parte dentro da raiz:
Subtraindo:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os instantes em que o deslocamento . A função do deslocamento é dada por:
Como e nunca são zero, para que , precisamos que:
Vamos resolver essa equação:
Tomando o inverso cotangente de ambos os lados:
Sabendo que , podemos reescrever:
Agora, substituindo os valores de e que calculamos:
Calculando :
Agora, para , encontramos os três primeiros instantes:
Para :
Para :
Para :

Resposta

Os três primeiros instantes em que o centro de gravidade do carro passa pela posição de equilíbrio são aproximadamente:

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1 2
27.5702 17.6567
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Determine a série de Laurent de para o domínio .