Em engenharia ambiental, a equação abaixo pode ser usada para calcular o nível de oxigênio em um rio, após a chegada de uma descarga de esgoto.
C=10-15(e^(-0.1 x)-e^(-0.5 x))
em que x é a distância rio abaixo.
Determine em que ponto, após a descarga de esgoto, o nível de oxigênio terá caído para 4. Calcule com erro menor que 1%.

Passo 1

Beleza, temos um problema de engenharia ambiental onde queremos descobrir em que ponto rio abaixo o nível de oxigênio cai para 4 após uma descarga de esgoto. A equação que descreve isso é:
Aqui, C é o nível de oxigênio e x é a distância rio abaixo. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações exponenciais e talvez usar métodos numéricos, já que não dá pra isolar o x facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir C por 4 na equação, já que queremos saber quando o nível de oxigênio atinge esse valor:
Nosso objetivo agora é encontrar o valor de x que satisfaz essa equação.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos exponenciais:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 15:
Simplificando a fração:

Passo 4

Agora, temos uma equação que envolve termos exponenciais com diferentes coeficientes. Não dá pra isolar o x de forma direta, então vamos usar um método de tentativa e erro para encontrar uma aproximação para x com erro menor que 1%.
Vamos tentar alguns valores de x e ver quando a equação se aproxima de 0.4.
  • Tentativa 1:
  • Tentativa 2:
  • Tentativa 3:
ó
Vemos que dá um valor muito próximo de 0.4, com uma diferença de aproximadamente 0.0045, que é menor que 1%.

Resposta

Portanto, a distância rio abaixo onde o nível de oxigênio cai para 4 é aproximadamente unidades de distância.

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