Determine a série de Laurent de
para cada um dos domínios abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para determinar a série de Laurent da função
no domínio onde
. Isso significa que queremos expandir essa função em uma série que seja válida para valores de
cuja distância do zero seja maior que 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Laurent. Ela é semelhante a uma série de Taylor, mas inclui termos com potências negativas, o que permite representar funções que têm singularidades (como pólos) no ponto onde estamos expandindo. No nosso caso, estamos expandindo para
, então estamos lidando com uma região externa ao círculo de raio 2 no plano complexo.
Passo 3
Vamos decompor a função
em frações parciais para facilitar a expansão. Ou seja, queremos escrever
como a soma de duas frações mais simples:
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação. Por exemplo, se
:
E se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, vamos expandir cada termo da fração parcial em séries de Laurent válidas para
. Para isso, precisamos reescrever os denominadores de forma que possamos aplicar o desenvolvimento geométrico.
Primeiro, reescrevemos
:
Aqui, usamos a série geométrica
, válida para
. No nosso caso,
, e como
, temos
, então a série converge.
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para
:
Novamente, usamos a série geométrica com
. Como
, temos
, garantindo a convergência da série.
Passo 6
Agora, juntamos as duas expansões que encontramos:
Portanto, a série de Laurent de
para
é a soma dos termos
para
de 0 a infinito.
Resposta
A série de Laurent de
para
é: