Determine a série de Laurent de f(z) = -1 / ((z - 1)(z - 2)) para cada um dos domínios abaixo: 2 < |z| < infinito

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para determinar a série de Laurent da função no domínio onde . Isso significa que queremos expandir essa função em uma série que seja válida para valores de cuja distância do zero seja maior que 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Laurent. Ela é semelhante a uma série de Taylor, mas inclui termos com potências negativas, o que permite representar funções que têm singularidades (como pólos) no ponto onde estamos expandindo. No nosso caso, estamos expandindo para , então estamos lidando com uma região externa ao círculo de raio 2 no plano complexo.

Passo 3

Vamos decompor a função em frações parciais para facilitar a expansão. Ou seja, queremos escrever como a soma de duas frações mais simples:
Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação. Por exemplo, se :
E se :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, vamos expandir cada termo da fração parcial em séries de Laurent válidas para . Para isso, precisamos reescrever os denominadores de forma que possamos aplicar o desenvolvimento geométrico.
Primeiro, reescrevemos :
Aqui, usamos a série geométrica , válida para . No nosso caso, , e como , temos , então a série converge.

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para :
Novamente, usamos a série geométrica com . Como , temos , garantindo a convergência da série.

Passo 6

Agora, juntamos as duas expansões que encontramos:
Portanto, a série de Laurent de para é a soma dos termos para de 0 a infinito.

Resposta

A série de Laurent de para é:

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