e que foram efetuadas duas medições da concentração, cujos resultados foram:
1
2
27.5702
17.6567
empregar o método de Newton-Raphson para determinar e . Considerar como aproximação inicial o ponto e efetuar 3 iterações, determinando o erro relativo em cada uma delas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função que modela a concentração de microorganismos em um lago ao longo do tempo:
A matéria aqui envolve equações não lineares e método de Newton-Raphson para resolver sistemas de equações. Precisamos usar esse método para achar os valores das constantes e usando duas medições dadas da concentração em dois momentos diferentes. Vamos precisar também entender como aplicar o método de Newton-Raphson em um sistema de duas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir as medições para equações. Temos duas medições:
Quando :
Quando :
Vamos simplificar isso para termos um sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos preparar o método de Newton-Raphson para resolver esse sistema. Esse método é uma maneira iterativa de encontrar raízes de equações. No caso de sistemas, usamos uma abordagem que envolve o cálculo do jacobiano, que é uma matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis e .
Primeiro, definimos as nossas funções:
E o jacobiano será:
Passo 4
Vamos iniciar as iterações. A aproximação inicial dada é .
Iteração 1:
Calculando e na aproximação atual:
Usando uma calculadora:
Calculando o jacobiano na aproximação atual:
Calculando a inversa do jacobiano:
Primeiro, calculamos o determinante :
Então, a inversa é:
Atualizando os valores de e :
[
J^{-1}
]
Calculando:
Então,
Calculando o erro relativo:
Resumo da Iteração 1:
Passo 5
Iteração 2:
Usando os novos valores , vamos repetir o processo.
Calculando e :
Calculando:
Calculando o jacobiano na nova aproximação:
Calculando a inversa do jacobiano:
Determinate :
Inversa:
Atualizando e :
[
J^{-1}
]
Calculando:
Então,
Calculando o erro relativo:
Resumo da Iteração 2:
Passo 6
Iteração 3:
Com , vamos mais uma vez.
Calculando e :
Calculando:
Calculando o jacobiano na nova aproximação:
Calculando a inversa do jacobiano:
Determinante :
Inversa:
Atualizando e :
[
J^{-1}
]
Calculando:
Então,
Calculando o erro relativo:
Resumo da Iteração 3:
Resposta
Após 3 iterações do método de Newton-Raphson, os valores aproximados são:
Os erros relativos em cada iteração diminuíram, indicando que estamos nos aproximando das soluções desejadas.