Considerando que a concentração de microorganismos em um lago © é modelada em função do tempo ( t ) pela expressão:
C(t) = 85 e^(k1 * t) + 18 e^(k2 * t)
e que foram efetuadas duas medições da concentração, cujos resultados foram:
t 1 2
C(t) 27.5702 17.6567
empregar o método de Newton-Raphson para determinar k1 e k2. Considerar como aproximação inicial o ponto (β, ω)=(-1.9, -0.15) e efetuar 3 iterações, determinando o erro relativo em cada uma delas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função que modela a concentração de microorganismos em um lago ao longo do tempo:
A matéria aqui envolve equações não lineares e método de Newton-Raphson para resolver sistemas de equações. Precisamos usar esse método para achar os valores das constantes e usando duas medições dadas da concentração em dois momentos diferentes. Vamos precisar também entender como aplicar o método de Newton-Raphson em um sistema de duas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as medições para equações. Temos duas medições:
  • Quando :
  • Quando :
Vamos simplificar isso para termos um sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos preparar o método de Newton-Raphson para resolver esse sistema. Esse método é uma maneira iterativa de encontrar raízes de equações. No caso de sistemas, usamos uma abordagem que envolve o cálculo do jacobiano, que é uma matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis e .
Primeiro, definimos as nossas funções:
E o jacobiano será:

Passo 4

Vamos iniciar as iterações. A aproximação inicial dada é .
Iteração 1:
  1. Calculando e na aproximação atual:
Usando uma calculadora:
  1. Calculando o jacobiano na aproximação atual:
  1. Calculando a inversa do jacobiano:
Primeiro, calculamos o determinante :
Então, a inversa é:
  1. Atualizando os valores de e :

[

  • J^{-1}
    ]
Calculando:
Então,
  1. Calculando o erro relativo:
Resumo da Iteração 1:

Passo 5

Iteração 2:
Usando os novos valores , vamos repetir o processo.
  1. Calculando e :
Calculando:
  1. Calculando o jacobiano na nova aproximação:
  1. Calculando a inversa do jacobiano:
Determinate :
Inversa:
  1. Atualizando e :

[

  • J^{-1}
    ]
Calculando:
Então,
  1. Calculando o erro relativo:
Resumo da Iteração 2:

Passo 6

Iteração 3:
Com , vamos mais uma vez.
  1. Calculando e :
Calculando:
  1. Calculando o jacobiano na nova aproximação:
  1. Calculando a inversa do jacobiano:
Determinante :
Inversa:
  1. Atualizando e :

[

  • J^{-1}
    ]
Calculando:
Então,
  1. Calculando o erro relativo:
Resumo da Iteração 3:

Resposta

Após 3 iterações do método de Newton-Raphson, os valores aproximados são:
Os erros relativos em cada iteração diminuíram, indicando que estamos nos aproximando das soluções desejadas.

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