Determine a série de Laurent de
para o domínio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Laurent da função
no domínio
. Isso envolve entender séries de Laurent, que são expansões em potências para funções complexas em anéis específicos do plano complexo. A gente vai precisar identificar as singularidades da função e ver como expandir em torno do ponto 2, já que a região é centrada em
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades de
. A função tem dois pontos problemáticos onde o denominador é zero:
e
.
Passo 3
Agora, analisamos o domínio dado:
. Isso significa que estamos trabalhando em um anel centrado em 2, com raio interno 1 e externo 2. Precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro desse anel.
Calculando:
- Para
: - Para
:
Assim,
está na fronteira externa do anel (não inclusa se considerarmos a desigualdade estrita), e
está na fronteira interna (também não inclusa). Portanto, dentro do domínio
, a função não tem singularidades;remos garantir que a expansão seja válida nessa região.
Passo 4
Vamos reescrever
de uma forma que facilite a expansão em série de Laurent em torno de
. Podemos centralizar a função em 2 substituindo
, onde
. Então:
Agora, queremos simplificar essa expressão para desenvolver em série de potências de
.
Passo 5
Vamos usar frações parciais para separar os termos:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Agora, precisamos expandir cada termo em série de Laurent válida para
.
Resposta
A série de Laurent de
para o domínio
é:
Onde
, expandindo em séries de potências:
Isso simplifica para:
Portanto, a série de Laurent é: