Determine a série de Laurent de f(z) = 1 / (z * (z - 1)) para o domínio 1|z-2|<2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Laurent da função no domínio . Isso envolve entender séries de Laurent, que são expansões em potências para funções complexas em anéis específicos do plano complexo. A gente vai precisar identificar as singularidades da função e ver como expandir em torno do ponto 2, já que a região é centrada em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades de . A função tem dois pontos problemáticos onde o denominador é zero: e .

Passo 3

Agora, analisamos o domínio dado: . Isso significa que estamos trabalhando em um anel centrado em 2, com raio interno 1 e externo 2. Precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro desse anel.
Calculando:
  • Para :
  • Para :
Assim, está na fronteira externa do anel (não inclusa se considerarmos a desigualdade estrita), e está na fronteira interna (também não inclusa). Portanto, dentro do domínio , a função não tem singularidades;remos garantir que a expansão seja válida nessa região.

Passo 4

Vamos reescrever de uma forma que facilite a expansão em série de Laurent em torno de . Podemos centralizar a função em 2 substituindo , onde . Então:
Agora, queremos simplificar essa expressão para desenvolver em série de potências de .

Passo 5

Vamos usar frações parciais para separar os termos:
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então:
Agora, precisamos expandir cada termo em série de Laurent válida para .

Resposta

A série de Laurent de para o domínio é:
Onde , expandindo em séries de potências:
Isso simplifica para:
Portanto, a série de Laurent é:

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