Um automóvel percorre uma estrada e num dado instante ele está no ponto tal que e a projeção do seu vetor velocidade no plano é . Sabendo que a altura dos pontos do terreno onde se situa a estrada é dada por , diga se a altitude do carro está aumentando ou diminuindo no ponto considerado.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro em um ponto específico da estrada, onde suas coordenadas são e . A velocidade do carro no plano é dada pelo vetor . A altura do terreno onde a estrada está localizada é descrita pela função . A pergunta é para descobrir se a altitude do carro está aumentando ou diminuindo nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos informa a taxa de variação da função na direção do vetor velocidade .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
Isso significa que:

Passo 3

Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto dado :

Passo 4

A velocidade do carro é representada pelo vetor , onde é a taxa de variação de em relação ao tempo ( ) e é a taxa de variação de em relação ao tempo ( ).

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação da altitude em relação ao tempo ( ), usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que temos:

Resposta

A altitude do carro está aumentando no ponto considerado.

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Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace .
Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de
Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão .