Um automóvel percorre uma estrada e num dado instante ele está no ponto tal que
e a projeção do seu vetor velocidade no plano
é
. Sabendo que a altura dos pontos do terreno onde se situa a estrada é dada por
, diga se a altitude do carro está aumentando ou diminuindo no ponto considerado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro em um ponto específico da estrada, onde suas coordenadas são
e
. A velocidade do carro no plano
é dada pelo vetor
. A altura do terreno onde a estrada está localizada é descrita pela função
. A pergunta é para descobrir se a altitude do carro está aumentando ou diminuindo nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos informa a taxa de variação da função
na direção do vetor velocidade
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
Isso significa que:
Passo 3
Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto dado
:
Passo 4
A velocidade do carro é representada pelo vetor
, onde
é a taxa de variação de
em relação ao tempo (
) e
é a taxa de variação de
em relação ao tempo (
).
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação da altitude
em relação ao tempo (
), usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A altitude do carro está aumentando no ponto considerado.
Exercícios relacionados
Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace
.
Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão
.