Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é . Basicamente, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e ver se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . Sabemos que:
A derivada de em relação a é , então usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a para obter :

Passo 6

Agora, vamos somar as segundas derivadas:
Isso mostra que a soma das segundas derivadas é igual a zero.

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace, pois .

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