Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0.
c) f(x, y)=arctg(yx), x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é . Basicamente, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e ver se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x, y) = arctan(yx) em relação a partial fpartial x = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2) = -yx^2 + y^2 . Sabemos que:
A derivada de em relação a é , então usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( -yx^2 + y^2 ) = -y cdot -2x(x^2 + y^2)^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2 em relação a para obter :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de partial fpartial y = 11 + (yx)^2 cdot 1x = xx^2 + y^2 em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = x cdot -2y(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2 em relação a para obter :

Passo 6

Agora, vamos somar as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2 - 2xy(x^2 + y^2)^2 = 0
Isso mostra que a soma das segundas derivadas é igual a zero.

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace, pois .

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