Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace, que é
. Basicamente, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
e ver se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é
, então usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para obter
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
para obter
:
Passo 6
Agora, vamos somar as segundas derivadas:
Isso mostra que a soma das segundas derivadas é igual a zero.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.
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é
. Sabendo que a altura dos pontos do terreno onde se situa a estrada é dada por
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