Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão
.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace em três dimensões. A equação de Laplace é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somar tudo para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. A função
em termos de
é
multiplicado por
. Como
é constante em relação a
, podemos tratar como uma constante durante a diferenciação.
Agora, derivando novamente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos para a derivada em relação a
. Similarmente,
é constante em relação a
.
Derivando novamente em relação a
:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada em relação a
. Aqui, a função envolve o cosseno, então teremos que usar a derivada do cosseno.
Derivando novamente em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos somar todas as segundas derivadas que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A soma das segundas derivadas é igual a zero, ou seja,
Portanto, a função
satisfaz a equação de Laplace em três dimensões.