Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão 3, partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0.
b) f(x, y, z)=e^3 x+4 y cos (5 z)

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace em três dimensões. A equação de Laplace é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a , e , e depois somar tudo para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de partial fpartial x = 3 e^3x + 4y cos(5z) em relação a partial^2 fpartial x^2 = 9 e^3x + 4y cos(5z) . A função em termos de é multiplicado por . Como é constante em relação a , podemos tratar como uma constante durante a diferenciação.
Agora, derivando novamente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos para a derivada em relação a partial fpartial y = 4 e^3x + 4y cos(5z) . Similarmente, partial^2 fpartial y^2 = 16 e^3x + 4y cos(5z) é constante em relação a .
Derivando novamente em relação a :

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada em relação a partial fpartial z = -5 e^3x + 4y sin(5z) . Aqui, a função envolve o cosseno, então teremos que usar a derivada do cosseno.
partial^2 fpartial z^2 = -25 e^3x + 4y cos(5z)
Derivando novamente em relação a :

Passo 5

Agora, vamos somar todas as segundas derivadas que calculamos:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 9 e^3x + 4y cos(5z) + 16 e^3x + 4y cos(5z) - 25 e^3x + 4y cos(5z)
Simplificando:
(9 + 16 - 25) e^3x + 4y cos(5z) = 0

Resposta

A soma das segundas derivadas é igual a zero, ou seja,
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 0
Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace em três dimensões.

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