Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar:
Entender o que é derivada direcional.
Calcular o gradiente da função .
Transformar o vetor direção em um vetor unitário.
Usar a fórmula da derivada direcional que envolve o gradiente e o vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
No ponto :
Passo 4
Agora, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1 e é obtido dividindo cada componente do vetor original pelo seu próprio comprimento.
Primeiro, vamos calcular as cossenos:
Então,
Agora, calculamos o comprimento de :
Como o comprimento é 1, já é um vetor unitário.
Passo 5
Com o gradiente e o vetor unitário , podemos usar a fórmula da derivada direcional:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção de é .