Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Entender o que é derivada direcional.
  2. Calcular o gradiente da função .
  3. Transformar o vetor direção em um vetor unitário.
  4. Usar a fórmula da derivada direcional que envolve o gradiente e o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
No ponto :

Passo 4

Agora, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1 e é obtido dividindo cada componente do vetor original pelo seu próprio comprimento.
Primeiro, vamos calcular as cossenos:
Então,
Agora, calculamos o comprimento de :
Como o comprimento é 1, já é um vetor unitário.

Passo 5

Com o gradiente e o vetor unitário , podemos usar a fórmula da derivada direcional:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

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