Determine a derivada direcional da função dada no ponto P0 e na direção de v
d) f(x, y, z)=3 x^2+y^2-4 z^2 ; P0=(1,1,1) ; v=(cos (pi3), cos (pi4), cos (2 pi3))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Entender o que é derivada direcional.
  2. Calcular o gradiente da função .
  3. Transformar o vetor direção em um vetor unitário.
  4. Usar a fórmula da derivada direcional que envolve o gradiente e o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = 6x partial fpartial y = 2y partial fpartial z = -8z em relação a cada variável:
nabla f = (6x, 2y, -8z)
Calculando cada derivada:
nabla f(P0) = (6cdot1, 2cdot1, -8cdot1) = (6, 2, -8)
Então,
No ponto :

Passo 4

Agora, precisamos transformar o vetor direção cos(pi3) = 12, cos(pi4) = raiz22, cos(2pi3) = -12 em um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1 e é obtido dividindo cada componente do vetor original pelo seu próprio comprimento.
Primeiro, vamos calcular as cossenos:
v = (12, raiz22, -12)
Então,
|v| = raiz(12)^2 + (raiz22)^2 + (-12)^2 = raiz14 + 24 + 14 = raiz1 = 1
Agora, calculamos o comprimento de :
Como o comprimento é 1, já é um vetor unitário.

Passo 5

Com o gradiente Dvf(P0) = nabla f(P0) cdot v = 6 cdot 12 + 2 cdot raiz22 + (-8) cdot (-12) e o vetor unitário 6 cdot 12 = 3 2 cdot raiz22 = raiz2 -8 cdot (-12) = 4 , podemos usar a fórmula da derivada direcional:
Dvf(P0) = 3 + raiz2 + 4 = 7 + raiz2
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

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