Um automóvel sobe uma ladeira inclinada de 15^circ a 30 m / s. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,70 . (a) qual é a menor distância necessária para o carro parar? (b) qual seria a menor distância para parar se o carro estivesse descendo a ladeira.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um carro subindo uma ladeira inclinada de com uma velocidade inicial de . O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é . A gente vai precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente as leis de movimento e as forças atuantes no carro. Vamos calcular a menor distância necessária para o carro parar, tanto subindo quanto descendo a ladeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam no carro enquanto ele está tentando parar. Quando o carro está subindo a ladeira, duas forças principais atuam contra o movimento:
  1. Força da gravidade: Puxa o carro de volta para baixo da ladeira.
  2. Força de atrito: Resiste ao movimento entre os pneus e a estrada.
A força da gravidade que age ao longo da ladeira é dada por:
Fgravidade = m cdot g cdot sin(theta)
onde:
  • Fatrito = mu cdot N é a massa do carro,
  • N = m cdot g cdot cos(theta) é a aceleração da gravidade ( ²),
  • é o ângulo da inclinação da ladeira.
A força de atrito estático máxima é:
onde:
  • é o coeficiente de atrito estático,
  • é a força normal, que para uma ladeira inclinada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração que o carro sofre ao tentar parar. A força total que está retardando o carro é a soma da força da gravidade e da força de atrito:
Ftotal = Fgravidade + Fatrito = m cdot g cdot sin(theta) + mu cdot m cdot g cdot cos(theta)
Como a = g cdot sin(theta) + mu cdot g cdot cos(theta) , podemos cancelar a massa dos dois lados e achar a aceleração :
Esse vai ser a desaceleração, portanto será negativa na equação de movimento.

Passo 4

Com a aceleração conhecida, podemos usar a equação da cinemática para encontrar a distância necessária para o carro parar:
v^2 = v0^2 + 2 cdot a cdot s
Aqui:
  • s = -v0^22 cdot a é a velocidade final (0, já que queremos parar),
  • é a velocidade inicial ( ),
  • é a aceleração (negativa),
  • é a distância que queremos encontrar.
Rearranjando a equação para resolver :

Passo 5

Agora vamos calcular os valores numericamente. Primeiro, calculamos a = 9,8 cdot sin(15^circ) + 0,70 cdot 9,8 cdot cos(15^circ) :
sin(15^circ) approx 0,2588
Calculando os valores trigonométricos:
cos(15^circ) approx 0,9659
a = 9,8 cdot 0,2588 + 0,70 cdot 9,8 cdot 0,9659
Substituindo:
a approx 2,537 + 6,604 approx 9,141 , m/s²
²

Passo 6

Agora, substituímos s = -(30)^22 cdot (-9,141) e s = 90018,282 approx 49,28 , metros na equação da distância:

Resposta

A menor distância necessária para o carro parar subindo a ladeira é aproximadamente 49,3 metros.

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