Duas esferas uniformes, cada uma de massa
, estão fixadas nos pontos
e
(figura ao lado). Encontre a magnitude e a direção da aceleração inicial da esfera uniforme de massa
se for liberada do repouso no ponto
sob ação apenas de forças gravitacionais das esferas
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos duas esferas iguais, cada uma com massa de
, fixadas nos pontos
e
. Queremos encontrar a magnitude e a direção da aceleração inicial de uma terceira esfera, com massa de
, que é solta do repouso no ponto
, sendo afetada apenas pelas forças gravitacionais das esferas
e
.
Para resolver esse problema, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos ajuda a calcular a força gravitacional entre duas massas. Precisaremos também aplicar conceitos de magnitude e vetores para determinar a direção da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal, que nos diz que a força gravitacional
entre duas massas
e
separadas por uma distância
é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional, aproximadamente .
Passo 3
Como temos duas esferas,
e
, que exercem forças gravitacionais sobre a esfera no ponto
, precisamos calcular a força gravitacional de cada uma dessas esferas sobre a esfera de massa
.
Vamos chamar:
-
(massa de A) -
(massa de B) -
(massa no ponto P) -
e são as distâncias entre e , e e , respectivamente.
Assumindo que o ponto
está posicionado de forma que as distâncias
e
são conhecidas, podemos calcular
e
.
Passo 4
Vamos calcular a força gravitacional exercida pela esfera
sobre
:
E da esfera
:
Passo 5
A aceleração
da esfera no ponto
pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton:
A força resultante será a soma vetorial de
e
. Então:
Passo 6
Para determinar a direção da aceleração, precisamos considerar a direção das forças
e
. Se, por exemplo, as duas forças estiverem na mesma linha, a direção da aceleração será ao longo dessa linha. Se estiverem em ângulos diferentes, teremos que decompor as forças em componentes e somá-las vetorialmente para encontrar a direção resultante.
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores conhecidos na equação da aceleração:
Calculamos os valores numéricos para
e
, somamos as forças e dividimos pela massa
para encontrar a aceleração.
Resposta
A magnitude da aceleração inicial da esfera no ponto
é determinada pela soma das forças gravitacionais exercidas por
e
, dividida pela massa
. A direção dessa aceleração depende da geometria dos pontos
,
e
. Usando a Lei da Gravitação Universal e a segunda lei de Newton, calculamos que:
Substituindo os valores numéricos e as distâncias específicas, obtemos a aceleração desejada.
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