Duas esferas uniformes, cada uma de massa 0,260 kg, estão fixadas nos pontos A e B (figura ao lado). Encontre a magnitude e a direção da aceleração inicial da esfera uniforme de massa 0,010 kg se for liberada do repouso no ponto P sob ação apenas de forças gravitacionais das esferas A e B.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos duas esferas iguais, cada uma com massa de , fixadas nos pontos e . Queremos encontrar a magnitude e a direção da aceleração inicial de uma terceira esfera, com massa de , que é solta do repouso no ponto , sendo afetada apenas pelas forças gravitacionais das esferas e .
Para resolver esse problema, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos ajuda a calcular a força gravitacional entre duas massas. Precisaremos também aplicar conceitos de magnitude e vetores para determinar a direção da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal, que nos diz que a força gravitacional F = G m1 m2r^2 entre duas massas e separadas por uma distância é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional, aproximadamente .

Passo 3

Como temos duas esferas, e , que exercem forças gravitacionais sobre a esfera no ponto , precisamos calcular a força gravitacional de cada uma dessas esferas sobre a esfera de massa .
Vamos chamar:
  • (massa de A)
  • (massa de B)
  • (massa no ponto P)
  • e são as distâncias entre e , e e , respectivamente.
Assumindo que o ponto está posicionado de forma que as distâncias e são conhecidas, podemos calcular e .

Passo 4

Vamos calcular a força gravitacional exercida pela esfera FA = G mA mPrA^2 sobre FB = G mB mPrB^2 :
E da esfera :

Passo 5

A aceleração Fresu da esfera no ponto a = Fresu pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton:
A força resultante será a soma vetorial de e . Então:

Passo 6

Para determinar a direção da aceleração, precisamos considerar a direção das forças e . Se, por exemplo, as duas forças estiverem na mesma linha, a direção da aceleração será ao longo dessa linha. Se estiverem em ângulos diferentes, teremos que decompor as forças em componentes e somá-las vetorialmente para encontrar a direção resultante.

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores conhecidos na equação da aceleração:
a = G ( mArA^2 + mBrB^2 )1
Calculamos os valores numéricos para e , somamos as forças e dividimos pela massa para encontrar a aceleração.

Resposta

A magnitude da aceleração inicial da esfera no ponto a = G ( mArA^2 + mBrB^2 ) é determinada pela soma das forças gravitacionais exercidas por e , dividida pela massa . A direção dessa aceleração depende da geometria dos pontos , e . Usando a Lei da Gravitação Universal e a segunda lei de Newton, calculamos que:
Substituindo os valores numéricos e as distâncias específicas, obtemos a aceleração desejada.

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