Um automóvel vale hoje
. Estima-se que seu valor y daqui a
anos seja dado por uma função exponencial
. Sabendo-se que o valor estimado para daqui a 3 anos é
, em quanto tempo o valor do automóvel será reduzido pela metade? Resp: Aproximadamente 6,7 anos.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema nos fala sobre a desvalorização de um carro que vale hoje R$ 30.000,00. Queremos descobrir em quantos anos o valor desse carro vai cair para metade, ou seja, para R$ 15.000,00. Para resolver isso, vamos usar funções exponenciais, que são ótimas para modelar processos de crescimento ou decrescimento contínuo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve o valor do carro ao longo do tempo. A função dada é
, onde:
-
é o valor do carro após anos. -
é o valor inicial do carro, que é R$ 30.000,00. -
é a base da função exponencial, que representa a taxa de depreciação anual.
Passo 3
Sabemos que após 3 anos, o valor do carro será R$ 22.000,00. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de
. Substituindo na função:
Passo 4
Para encontrar
, vamos isolar essa variável. Primeiro, dividimos ambos os lados por 30.000:
Passo 5
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, nossa função fica:
Queremos saber quando
será metade do valor inicial, ou seja, R$ 15.000,00. Então, substituímos
por 15.000:
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 30.000:
Passo 8
Para resolver essa equação exponencial, usamos o logaritmo. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos, trazemos o expoente para fora:
Passo 9
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Calculando os valores:
Resposta
Aproximadamente 7,3 anos.