Um automóvel vale hoje . Estima-se que seu valor y daqui a anos seja dado por uma função exponencial . Sabendo-se que o valor estimado para daqui a 3 anos é , em quanto tempo o valor do automóvel será reduzido pela metade? Resp: Aproximadamente 6,7 anos.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema nos fala sobre a desvalorização de um carro que vale hoje R$ 30.000,00. Queremos descobrir em quantos anos o valor desse carro vai cair para metade, ou seja, para R$ 15.000,00. Para resolver isso, vamos usar funções exponenciais, que são ótimas para modelar processos de crescimento ou decrescimento contínuo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve o valor do carro ao longo do tempo. A função dada é , onde:
  • é o valor do carro após anos.
  • é o valor inicial do carro, que é R$ 30.000,00.
  • é a base da função exponencial, que representa a taxa de depreciação anual.

Passo 3

Sabemos que após 3 anos, o valor do carro será R$ 22.000,00. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de . Substituindo na função:

Passo 4

Para encontrar , vamos isolar essa variável. Primeiro, dividimos ambos os lados por 30.000:

Passo 5

Agora, para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:

Passo 6

Com o valor de encontrado, nossa função fica:
Queremos saber quando será metade do valor inicial, ou seja, R$ 15.000,00. Então, substituímos por 15.000:

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, dividimos ambos os lados por 30.000:

Passo 8

Para resolver essa equação exponencial, usamos o logaritmo. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos, trazemos o expoente para fora:

Passo 9

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Calculando os valores:

Resposta

Aproximadamente 7,3 anos.

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