Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente vai fazer aqui é encontrar as raízes dessa função, descobrir as coordenadas do vértice, determinar a imagem, fazer um esboço do gráfico e analisar os sinais dessa função. Pra tudo isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como fatoração, fórmula de Bhaskara, e propriedades dos gráficos de parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, podemos usar a fatoração ou a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar primeiro.
Queremos encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos escrever:
Agora, colocando cada fator igual a zero:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Agora, vamos achar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o vértice de uma função quadrática é:
No nosso caso, , , e .
Calculando :
Agora, calculando :
Então, o vértice é .

Passo 4

A imagem da função é basicamente o mínimo ou máximo da parábola. Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima, e o vértice representa o ponto mínimo.
Então, a imagem da função é .

Passo 5

Vamos fazer um esboço do gráfico da função. Sabemos que:
  • As raízes são e .
  • O vértice está em .
  • A parábola abre para cima.
Com esses pontos, a gente pode desenhar uma parábola que corta o eixo em e , tem o ponto mais baixo em e sobe dos dois lados.

Passo 6

Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função .
Sabemos que a função muda de sinal nas raízes. Então, vamos analisar os intervalos determinados pelas raízes e :
  1. Para :
    • Escolha :
    • Sinal: Positivo
  2. Para :
    • Escolha :
    • Sinal: Negativo
  3. Para :
    • Escolha :
    • Sinal: Positivo
Então, a função é positiva para e , e negativa entre e .

Resposta

As raízes da função são e . O vértice está em . A imagem da função é . O gráfico é uma parábola que abre para cima, cortando o eixo em e e com o vértice em . O estudo de sinal mostra que para e , e para .

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