Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente vai fazer aqui é encontrar as raízes dessa função, descobrir as coordenadas do vértice, determinar a imagem, fazer um esboço do gráfico e analisar os sinais dessa função. Pra tudo isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como fatoração, fórmula de Bhaskara, e propriedades dos gráficos de parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, podemos usar a fatoração ou a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar primeiro.
Queremos encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então, podemos escrever:
Agora, colocando cada fator igual a zero:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o vértice
de uma função quadrática
é:
No nosso caso,
,
, e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Então, o vértice é
.
Passo 4
A imagem da função é basicamente o mínimo ou máximo da parábola. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima, e o vértice representa o ponto mínimo.
Então, a imagem da função é
.
Passo 5
Vamos fazer um esboço do gráfico da função. Sabemos que:
- As raízes são
e . - O vértice está em
. - A parábola abre para cima.
Com esses pontos, a gente pode desenhar uma parábola que corta o eixo
em
e
, tem o ponto mais baixo em
e sobe dos dois lados.
Passo 6
Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função
.
Sabemos que a função muda de sinal nas raízes. Então, vamos analisar os intervalos determinados pelas raízes
e
:
-
Para
: - Escolha
: - Sinal: Positivo
- Escolha
-
Para
: - Escolha
: - Sinal: Negativo
- Escolha
-
Para
: - Escolha
: - Sinal: Positivo
- Escolha
Então, a função
é positiva para
e
, e negativa entre
e
.
Resposta
As raízes da função são
e
. O vértice está em
. A imagem da função é
. O gráfico é uma parábola que abre para cima, cortando o eixo
em
e
e com o vértice em
. O estudo de sinal mostra que
para
e
, e
para
.
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minutos.
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grau.
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Resp: