Quais os autovalores e autovetores do operador linear T em R^3 dado por T(x, y, z)=(2 x+y+ 3 z, 4 y+2 z, 10 y-4 x) ? T é diagonalizável? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear T(x, y, z) = (2x + y + 3z, 4y + 2z, 10y - 4x) em definido por:
A pergunta quer que encontremos os autovalores e autovetores desse operador e que verifiquemos se é diagonalizável. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A = 2 & 1 & 3 0 & 4 & 2 -4 & 10 & 0 , precisamos primeiro representar como uma matriz. Observando a transformação linear dada, podemos escrever a matriz associada a :

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 3 0 & 4 - lambda & 2 -4 & 10 & -lambda é a matriz identidade e são os autovalores que queremos encontrar.
Subtraindo na diagonal principal:

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(4 - lambda)(-lambda) - 2 cdot 10] - 1[0 cdot (-lambda) - 2 cdot (-4)] + 3[0 cdot 10 - (4 - lambda)(-4)]
Vamos simplificar cada termo:
= (2 - lambda)[-4lambda + lambda^2 - 20] - 1[0 + 8] + 3[0 + 4(4 - lambda)]
= (2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda - 20) - 8 + 3(16 - 4lambda)
= (2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda - 20) - 8 + 48 - 12lambda
Explicando: Para encontrar o polinômio característico, multiplicamos pelos cofatores e depois somamos os demais termos resultantes da expansão do determinante.

Passo 5

Continuando a simplificação:
Primeiro, multiplicamos = 2(lambda^2 - 4lambda - 20) - lambda(lambda^2 - 4lambda - 20) pelo polinômio = 2lambda^2 - 8lambda - 40 - lambda^3 + 4lambda^2 + 20lambda :
= -lambda^3 + 6lambda^2 + 12lambda - 40
-lambda^3 + 6lambda^2 + 12lambda - 40 - 8 + 48 - 12lambda
= -lambda^3 + 6lambda^2 + 0lambda + 0
Agora, somamos os outros termos:
= -lambda^3 + 6lambda^2
= -lambda^2 (lambda - 6) = 0
Fatorando:

Passo 6

Resolvendo a equação característica:
-lambda^2 (lambda - 6) = 0
lambda^2 = 0 ou lambda - 6 = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda = 0 (com mu

Passo 7

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para 2 & 1 & 3 0 & 4 & 2 -4 & 10 & 0 :
Resolvemos 2x + y + 3z = 0 4y + 2z = 0 -4x + 10y = 0 .
A matriz 4y + 2z = 0 Rightarrow 2y + z = 0 Rightarrow z = -2y é:
-4x + 10y = 0 Rightarrow x = 104y = 52y
Resolvendo o sistema:
2(52y) + y + 3(-2y) = 5y + y -6y = 0
Da segunda equação:
v = 52y y -2y = y 52 1 -2
Da terceira equação:
v1 = 5 2 -4
Substituindo A - 6I = 2-6 & 1 & 3 0 & 4-6 & 2 -4 & 10 & 0-6 = -4 & 1 & 3 0 & -2 & 2 -4 & 10 & -6 e -4x + y + 3z = 0 -2y + 2z = 0 -4x + 10y -6z = 0 na primeira equação:
-2y + 2z = 0 Rightarrow y = z
Isso confirma que as soluções são proporcionais a -4x + z + 3z = -4x + 4z = 0 Rightarrow x = z .
Portanto, os autovetores associados a v = z z z = z 1 1 1 são:
v2 = 1 1 1
Podemos escolher para simplificar:
Para :
Resolvemos .
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os autovetores associados a são:
Podemos escolher :

Passo 8

Agora, verificamos se v1 = 5 2 -4 é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço, que neste caso é 3.
  • Para , encontramos um autovetor, mas a multiplicidade algébrica é 2. Precisamos de dois autovetores linearmente independentes para .
Observando os autovetores, temos apenas um vetor para :
Como não encontramos um segundo autovetor independente para , a multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica.

Resposta

Os autovalores do operador v1 = 5 2 -4 são v2 = 1 1 1 (com multiplicidade 2) e . Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
Como não há autovetores suficientes para para preencher a dimensão de , o operador não é diagonalizável.

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