Quais os autovalores e autovetores do operador linear em dado por ? é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear em definido por:
A pergunta quer que encontremos os autovalores e autovetores desse operador e que verifiquemos se é diagonalizável. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Para encontrar os autovalores de , precisamos primeiro representar como uma matriz. Observando a transformação linear dada, podemos escrever a matriz associada a :
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 3 0 & 4 - lambda & 2 -4 & 10 & -lambda é a matriz identidade e são os autovalores que queremos encontrar.
Explicando: Para encontrar o polinômio característico, multiplicamos pelos cofatores e depois somamos os demais termos resultantes da expansão do determinante.
Isso confirma que as soluções são proporcionais a -4x + z + 3z = -4x + 4z = 0 Rightarrow x = z .
Portanto, os autovetores associados a v = z z z = z 1 1 1 são:
v2 = 1 1 1
Podemos escolher para simplificar:
Para :
Resolvemos .
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os autovetores associados a são:
Podemos escolher :
Passo 8
Agora, verificamos se v1 = 5 2 -4 é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço, que neste caso é 3.
Para , encontramos um autovetor, mas a multiplicidade algébrica é 2. Precisamos de dois autovetores linearmente independentes para .
Observando os autovetores, temos apenas um vetor para :
Como não encontramos um segundo autovetor independente para , a multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica.
Resposta
Os autovalores do operador v1 = 5 2 -4 são v2 = 1 1 1 (com multiplicidade 2) e . Os autovetores correspondentes são:
Para :
Para :
Como não há autovetores suficientes para para preencher a dimensão de , o operador não é diagonalizável.