Considere o vetor
e as bases
e
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um vetor
no espaço
e duas bases: a padrão
e uma outra base
. Precisamos encontrar as coordenadas de
em relação a essas bases, ou seja,
e
.
Passo 2
Vamos começar encontrando
. A base
é a base padrão, onde cada vetor é representado diretamente pelas suas componentes. Isso significa que para qualquer vetor
, temos
.
Então, para o nosso vetor
, simplesmente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Aqui, precisamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar números
e
tais que:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
Já sabemos que
, então substituímos na segunda equação:
Resposta
Portanto, as coordenadas de
em relação às bases
e
são: