Considere o vetor v=(2,4) in R^2 e as bases epsilon=(1,0),(0,1) e beta=(1,1),(0,1). Determine [v]epsilon e [v]beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um vetor no espaço e duas bases: a padrão e uma outra base . Precisamos encontrar as coordenadas de em relação a essas bases, ou seja, e .

Passo 2

Vamos começar encontrando [v]epsilon = (2, 4) . A base é a base padrão, onde cada vetor é representado diretamente pelas suas componentes. Isso significa que para qualquer vetor , temos .
Então, para o nosso vetor , simplesmente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar v = a cdot (1, 1) + b cdot (0, 1) . Aqui, precisamos expressar o vetor (2, 4) = (a cdot 1 + b cdot 0, a cdot 1 + b cdot 1) = (a, a + b) como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar números e tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
  1. Para a primeira componente:
a = 2
  1. Para a segunda componente:
a + b = 4
Já sabemos que 2 + b = 4 implies b = 2 , então substituímos na segunda equação:

Resposta

Portanto, as coordenadas de [v]epsilon = (2, 4) e [v]beta = (2, 2) em relação às bases e são:

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