Qual é a transformação linear T: R^2 R^3 tal que T(1,3)=(1,2,0) e T(2,1)=(5,2,1) ?

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para resolver isso, vamos usar a ideia de que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Precisaremos descobrir os coeficientes dessa matriz para que as condições dadas sejam satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = a11 & a12 a21 & a22 a31 & a32 por uma matriz T x y = A x y = a11x + a12y a21x + a22y a31x + a32y de tamanho . Então, temos:
A transformação linear atua nos vetores de multiplicando pela matriz . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas no problema para montar um sistema de equações. Sabemos que:
T 1 3 = 1 2 0
T 2 1 = 5 2 1
Isso nos dá as seguintes equações:
Para a11 cdot 1 + a12 cdot 3 = 1 a21 cdot 1 + a22 cdot 3 = 2 a31 cdot 1 + a32 cdot 3 = 0 :
a11 cdot 2 + a12 cdot 1 = 5 a21 cdot 2 + a22 cdot 1 = 2 a31 cdot 2 + a32 cdot 1 = 1
Para :

Passo 4

Vamos resolver essas equações passo a passo. Começando com as primeiras duas variáveis da primeira linha:
a11 + 3a12 = 1 (1) 2a11 + a12 = 5 (2)
Podemos resolver esse sistema de duas equações com duas incógnitas. Multiplicando a equação (1) por 2:
2a11 + 6a12 = 2 (1a)
Subtraindo a equação (2) da equação (1a):
(2a11 + 6a12) - (2a11 + a12) = 2 - 5 5a12 = -3 a12 = -35
Agora, substituímos a11 + 3(-35) = 1 a11 - 95 = 1 a11 = 1 + 95 = 145 na equação (1):

Passo 5

Vamos resolver agora para a21 + 3a22 = 2 (3) 2a21 + a22 = 2 (4) e 2a21 + 6a22 = 4 (3a) usando as equa�es:
(2a21 + 6a22) - (2a21 + a22) = 4 - 2 5a22 = 2 a22 = 25
Multiplicando a equação (3) por 2:
a21 + 3(25) = 2 a21 + 65 = 2 a21 = 2 - 65 = 45
Subtraindo a equação (4) da equação (3a):
Substituindo na equação (3):

Passo 6

Por último, vamos resolver para a31 + 3a32 = 0 (5) 2a31 + a32 = 1 (6) e 2a31 + 6a32 = 0 (5a) usando as equações:
(2a31 + 6a32) - (2a31 + a32) = 0 - 1 5a32 = -1 a32 = -15
Multiplicando a equação (5) por 2:
a31 + 3(-15) = 0 a31 - 35 = 0 a31 = 35
Subtraindo a equação (6) da equação (5a):
Substituindo na equação (5):

Resposta

Com os coeficientes encontrados, a matriz que representa a transformação linear A = 145 & -35 45 & 25 35 & -15 é:
T(x, y) = ( 145x - 35y, ; 45x + 25y, ; 35x - 15y )
Portanto, a transformação linear é dada por:

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