Calcule os autovalores e os autovetores associados de: dada por ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como calcular autovalores e autovetores de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação pode ser escrita em forma matricial como:
Passo 3
Para encontrar os autovalores de A - lambda I = -1 - lambda & -2 & 2 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda , precisamos resolver a equação característica det, onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
Calculando o determinante de det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(1 - lambda)(1 - lambda) :
(-1 - lambda)(1 - lambda)^2 = 0
Igualando o determinante a zero para achar os autovalores:
Passo 5
Resolvendo a equação:
-1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
(1 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1 (mu
Portanto, os autovalores são e (com multiplicidade 2).
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.