Calcule os autovalores e os autovetores associados de: T: R^3 R^3 dada por T(x, y)=(-x-2 y+2 z, y, z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como calcular autovalores e autovetores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = -1 & -2 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 como uma matriz . A transformação pode ser escrita em forma matricial como:

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A - lambda I = -1 - lambda & -2 & 2 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda , precisamos resolver a equação característica det , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(1 - lambda)(1 - lambda) :
(-1 - lambda)(1 - lambda)^2 = 0
Igualando o determinante a zero para achar os autovalores:

Passo 5

Resolvendo a equação:
-1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
(1 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1 (mu
Portanto, os autovalores são e (com multiplicidade 2).

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para (A + I) = 0 & -2 & 2 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 :
Resolvemos 0x - 2y + 2z = 0 0x + 2y + 0z = 0 0x + 0y + 2z = 0 :
v1 = 1 0 0
Isso gera o sistema:
(A - I) = -2 & -2 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Resolvendo, temos -2x - 2y + 2z = 0 0 = 0 0 = 0 e 1 0 1 . Não há restrição para 0 1 1 , então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso gera o sistema:
Simplificando, temos ou .
Podemos escolher valores livres para e . Por exemplo:
  • Se e , então , resultando no autovetor .
  • Se e , então , resultando no autovetor .

Resposta

Os autovalores são v1 = 1 0 0 , v2 = 1 0 1 , v3 = 0 1 1 e (com multiplicidade 2). Os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados