Seja T: R^3 R^3 uma Transformação Linear cuja matriz com relação à base canônica seja [T] canonica =[ccc1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1] a) Determine T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, a gente tem uma transformação linear e a matriz dela na base canônica é dada. Nosso objetivo aqui é descobrir como transforma um vetor qualquer . Para isso, vamos usar a multiplicação de matrizes, que é a ferramenta chave em transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar [T]canônica = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 , a gente precisa multiplicar a matriz de x y z pelo vetor . A matriz de é:
ô
E o vetor pode ser escrito como uma coluna:

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação matriz-vetor passo a passo. Multiplicamos cada linha da matriz pelos componentes do vetor:
  1. Primeira componente:
1 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z = x + y
  1. Segunda componente:
-1 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z = -x + z
  1. Terceira componente:
0 cdot x + (-1) cdot y + (-1) cdot z = -y - z

Passo 4

Agora, juntando todas as componentes que calculamos, o vetor resultante da transformação T(x, y, z) = x + y -x + z -y - z é:

Resposta

T(x, y, z) = (x + y, -x + z, -y - z)

Exercícios relacionados