Os autovalores de um operador linear T: R^3 R^3 são lambda1=1, lambda2=2 e lambda3=-1, sendo v1=(1,1,1), v2=(0,1,1) e v3=(-1,1,0) os respectivos autovetores associados. Determine T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear com três autovalores e seus respectivos autovetores. Nosso objetivo é encontrar a expressão de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se é um autovalor de e é o autovetor correspondente, então . Isso significa que, ao aplicar o operador no vetor , o resultado é o próprio vetor multiplicado por .

Passo 3

Como temos três autovalores e três autovetores distintos, podemos formar uma matriz V = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 cujas colunas são esses autovetores, e uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Assim:

Passo 4

Sabemos que a matriz que representa o operador na base padrão pode ser encontrada usando a relação , onde é a matriz de . Primeiro, precisamos calcular a matriz inversa de , ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular V^-1 = 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 . Para isso, podemos usar o método de adjuntos ou utilizar uma calculadora. O resultado é:

Passo 6

Agora, multiplicamos as matrizes A = V D V^-1 = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 , A = 2 & 1 & -1 0 & 2 & 0 1 & 1 & -1 e para encontrar :
Calculando essa multiplicação, obtemos:

Passo 7

Com a matriz T(x, y, z) = A x y z = 2x + y - z 2y x + y - z determinada, podemos expressar como:

Resposta

Portanto, a transformação linear T(x, y, z) = (2x + y - z,; 2y,; x + y - z) aplicada ao vetor é dada por:

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