Os autovalores de um operador linear são e , sendo e os respectivos autovetores associados. Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear com três autovalores e seus respectivos autovetores. Nosso objetivo é encontrar a expressão de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se é um autovalor de e é o autovetor correspondente, então . Isso significa que, ao aplicar o operador no vetor , o resultado é o próprio vetor multiplicado por .
Passo 3
Como temos três autovalores e três autovetores distintos, podemos formar uma matriz cujas colunas são esses autovetores, e uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Assim:
Passo 4
Sabemos que a matriz que representa o operador na base padrão pode ser encontrada usando a relação , onde é a matriz de . Primeiro, precisamos calcular a matriz inversa de , ou seja, .
Passo 5
Vamos calcular . Para isso, podemos usar o método de adjuntos ou utilizar uma calculadora. O resultado é:
Passo 6
Agora, multiplicamos as matrizes , e para encontrar :
Calculando essa multiplicação, obtemos:
Passo 7
Com a matriz determinada, podemos expressar como:
Resposta
Portanto, a transformação linear aplicada ao vetor é dada por: