Os autovalores de um operador linear são e , sendo e os respectivos autovetores associados. Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear com três autovalores e seus respectivos autovetores. Nosso objetivo é encontrar a expressão de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se é um autovalor de e é o autovetor correspondente, então . Isso significa que, ao aplicar o operador no vetor , o resultado é o próprio vetor multiplicado por .

Passo 3

Como temos três autovalores e três autovetores distintos, podemos formar uma matriz cujas colunas são esses autovetores, e uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Assim:

Passo 4

Sabemos que a matriz que representa o operador na base padrão pode ser encontrada usando a relação , onde é a matriz de . Primeiro, precisamos calcular a matriz inversa de , ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular . Para isso, podemos usar o método de adjuntos ou utilizar uma calculadora. O resultado é:

Passo 6

Agora, multiplicamos as matrizes , e para encontrar :
Calculando essa multiplicação, obtemos:

Passo 7

Com a matriz determinada, podemos expressar como:

Resposta

Portanto, a transformação linear aplicada ao vetor é dada por:

Exercícios relacionados

Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) dada por ;
b) dada por ;
c) dada por ;
d) dada por .
Considere e tais que a matriz seja antissimétrica. Então o valor de é:
a. 1
b. -2
c. 2
○ d. -1
○. 0
Seja um produto interno em (isto é, o espaço vetorial dos polinômios de grau 2), onde e . Dados os vetores , , calcular o produto interno