Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de ortonormalização de uma base no espaço usando o processo de Gram-Schmidt. A gente vai transformar a base em uma base ortonormal, ou seja, vetores que são todos perpendiculares entre si e com comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender como o processo de Gram-Schmidt funciona e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base, , e normalizá-lo. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor de comprimento 1.
A fórmula para normalizar um vetor é:
onde é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:
Passo 3
Calculando a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Passo 4
Agora, vamos passar para o segundo vetor da base, . Antes de normalizar, precisamos tirar a componente de que está na direção de para garantir que seja ortogonal a .
A fórmula para essa projeção é:
Como já está normalizado, , então:
Passo 5
Calculando o produto escalar :
Então:
Passo 6
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :
Passo 7
Agora, vamos normalizar para obter :
Primeiro, calculamos a norma de :
Então:
Passo 8
Agora, vamos para o terceiro vetor da base, . Precisamos tirar as componentes de nas direções de e para que seja ortogonal a ambos.
Primeiro, calculamos as projeções:
Passo 9
Calculando :
Então:
Calculando :
Então:
Passo 10
Agora, subtraímos as projeções de para obter :
Fazendo as subtrações:
Passo 11
Finalmente, vamos normalizar para obter :
Calculamos a norma de :