Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de ortonormalização de uma base no espaço usando o processo de Gram-Schmidt. A gente vai transformar a base em uma base ortonormal, ou seja, vetores que são todos perpendiculares entre si e com comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender como o processo de Gram-Schmidt funciona e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base, , e normalizá-lo. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor de comprimento 1.
A fórmula para normalizar um vetor é:
onde é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:

Passo 3

Calculando a norma de :
Então, o vetor normalizado é:

Passo 4

Agora, vamos passar para o segundo vetor da base, . Antes de normalizar, precisamos tirar a componente de que está na direção de para garantir que seja ortogonal a .
A fórmula para essa projeção é:
Como já está normalizado, , então:

Passo 5

Calculando o produto escalar :
Então:

Passo 6

Agora, subtraímos essa projeção de para obter :

Passo 7

Agora, vamos normalizar para obter :
Primeiro, calculamos a norma de :
Então:

Passo 8

Agora, vamos para o terceiro vetor da base, . Precisamos tirar as componentes de nas direções de e para que seja ortogonal a ambos.
Primeiro, calculamos as projeções:

Passo 9

Calculando :
Então:
Calculando :
Então:

Passo 10

Agora, subtraímos as projeções de para obter :
Fazendo as subtrações:

Passo 11

Finalmente, vamos normalizar para obter :
Calculamos a norma de :
Então:

Resposta

A base ortonormal resultante é:

Exercícios relacionados

Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) dada por ;
b) dada por ;
c) dada por ;
d) dada por .
Calcular , sabendo que e .
Os autovalores de um operador linear são e , sendo e os respectivos autovetores associados. Determine .
Considere e tais que a matriz seja antissimétrica. Então o valor de é:
a. 1
b. -2
c. 2
○ d. -1
○. 0