Considere as seguintes bases do V=R^2, V=R^3 e do V=R^4 dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
B=(0,2,1,0),(1,-1,0,0),(1,2,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de ortonormalização de uma base no espaço usando o processo de Gram-Schmidt. A gente vai transformar a base em uma base ortonormal, ou seja, vetores que são todos perpendiculares entre si e com comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender como o processo de Gram-Schmidt funciona e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base, u = v|v| , e normalizá-lo. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor de comprimento 1.
A fórmula para normalizar um vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 + v4^2 é:
onde é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:

Passo 3

Calculando a norma de |v1| = raiz0^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz0 + 4 + 1 + 0 = raiz5 :
u1 = v1|v1| = (0, 2raiz5, 1raiz5, 0)
Então, o vetor normalizado é:

Passo 4

Agora, vamos passar para o segundo vetor da base, proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 . Antes de normalizar, precisamos tirar a componente de proju1(v2) = (v2 cdot u1) u1 que está na direção de para garantir que seja ortogonal a .
A fórmula para essa projeção é:
Como já está normalizado, , então:

Passo 5

Calculando o produto escalar v2 cdot u1 = 1 cdot 0 + (-1) cdot 2raiz5 + 0 cdot 1raiz5 + 0 cdot 0 = 0 - 2raiz5 + 0 + 0 = -2raiz5 :
proju1(v2) = -2raiz5 cdot (0, 2raiz5, 1raiz5, 0) = (0, -45, -25, 0)
Então:

Passo 6

Agora, subtraímos essa projeção de w2 = v2 - proju1(v2) = (1, -1, 0, 0) - (0, -45, -25, 0) = (1, -1 + 45, 0 + 25, 0) = (1, -15, 25, 0) para obter :

Passo 7

Agora, vamos normalizar |w2| = raiz1^2 + (-15)^2 + (25)^2 + 0^2 = raiz1 + 125 + 425 + 0 = raiz25 + 1 + 425 = raiz3025 = raiz65 = raiz6raiz5 para obter u2 = w2|w2| = ( 1raiz6raiz5, -15raiz6raiz5, 25raiz6raiz5, 0 ) = ( raiz5raiz6, -raiz55raiz6, 2raiz55raiz6, 0 ) :
Primeiro, calculamos a norma de :
Então:

Passo 8

Agora, vamos para o terceiro vetor da base, proju1(v3) = (v3 cdot u1) u1 . Precisamos tirar as componentes de proju2(v3) = (v3 cdot u2) u2 nas direções de e para que seja ortogonal a ambos.
Primeiro, calculamos as projeções:

Passo 9

Calculando v3 cdot u1 = 1 cdot 0 + 2 cdot 2raiz5 + 0 cdot 1raiz5 + (-1) cdot 0 = 0 + 4raiz5 + 0 + 0 = 4raiz5 :
proju1(v3) = 4raiz5 cdot (0, 2raiz5, 1raiz5, 0) = (0, 85, 45, 0)
Então:
v3 cdot u2 = 1 cdot raiz5raiz6 + 2 cdot -raiz55raiz6 + 0 cdot 2raiz55raiz6 + (-1) cdot 0 = raiz5raiz6 - 2raiz55raiz6 = 5raiz5 - 2raiz55raiz6 = 3raiz55raiz6
Calculando proju2(v3) = 3raiz55raiz6 cdot ( raiz5raiz6, -raiz55raiz6, 2raiz55raiz6, 0 ) = ( 1530, -330, 630, 0 ) = ( 12, -110, 15, 0 ) :
Então:

Passo 10

Agora, subtraímos as projeções de w3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = (1,2,0,-1) - (0, 85, 45, 0) - (12, -110, 15, 0) para obter w3 = (1 - 0 - 12, 2 - 85 + 110, 0 - 45 - 15, -1 - 0 - 0) = (12, 1210 - 1610 + 110, -1, -1) = (12, -310, -1, -1) :
Fazendo as subtrações:

Passo 11

Finalmente, vamos normalizar |w3| = raiz(12)^2 + (-310)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz14 + 9100 + 1 + 1 = raiz25100 + 9100 + 100100 + 100100 = raiz234100 = raiz23410 = 3raiz2610 para obter u3 = w3|w3| = ( 123raiz2610, -3103raiz2610, -13raiz2610, -13raiz2610 ) = ( 53raiz26, -1raiz26, -103raiz26, -103raiz26 ) :
Calculamos a norma de :
Então:

Resposta

A base ortonormal resultante é:
(0, 2raiz5, 1raiz5, 0), (raiz5raiz6, -raiz55raiz6, 2raiz55raiz6, 0), (53raiz26, -1raiz26, -103raiz26, -103raiz26)

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