Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) dada por ;
b) dada por ;
c) dada por ;
d) dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes, determinantes e soluções de sistemas lineares. Vamos analisar cada parte do exercício uma por uma.

Passo 2

a) dada por

Primeiro, precisamos representar essa transformação linear por uma matriz. Para isso, vemos como a transformação age sobre os vetores da base canônica.
A transformação pode ser escrita como:
Isso nos dá a matriz associada a :

Passo 3

Para encontrar os autovalores de , resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Calculando :
O determinante é:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo, os autovalores são complexos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a cada autovalor. Vamos usar a equação .
Para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar em termos de :
Então, um autovetor correspondente é:
Similarmente, para , o autovetor será:

Passo 6

b) dada por

Vamos seguir os mesmos passos: representar a transformação por uma matriz, encontrar os autovalores e depois os autovetores.

Passo 7

Representando por uma matriz :
Encontrando a equação característica:
Como a matriz é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Então, a equação característica é:

Passo 8

Resolvendo a equação característica:
Os autovalores são:

Passo 9

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.

Para :

Resolvendo o sistema, obtemos:

Para :

Resolvendo o sistema, obtemos:

Para :

Resolvendo o sistema, obtemos:

Passo 10

c) dada por

Vamos representar essa transformação por uma matriz em relação à base .

Passo 11

A transformação age da seguinte forma:
Representando na base :

Passo 12

Encontrando a equação característica:
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:

Passo 13

Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores:

Passo 14

Encontrando os autovetores para cada autovalor.

Para :

Resolvendo o sistema, obtemos os autovetores:
Então, a base de autovetores é e .

Para :

Resolvendo o sistema, obtemos:

Passo 15

d) dada por

Para matrizes, representamos a transformação linear em termos de uma base para . Vamos usar a base padrão composta pelas matrizes .

Passo 16

Representando a transformação em termos da base padrão:
Aplicando a cada uma das matrizes da base:
Assim, a matriz de na base padrão é:

Passo 17

Encontrando a equação característica:
Calculando o determinante da matriz :
Calculando o determinante interno:
Então, a equação característica é:

Passo 18

Resolvendo a equação característica:
Encontramos e resolvemos . Multiplicando por :
Testando possíveis raízes, encontramos :
Então, fatorando:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2), e .

Passo 19

Encontrando os autovetores para cada autovalor.

Para :

Resolvendo :
Do sistema, obtemos:
Então, os autovetores são da forma:

Para :

Resolvendo :
Da última linha, . Resolvendo o restante:
Então, os autovetores são:

Para :

Resolvendo :
Da última linha, . Resolvendo o restante:
Portanto, o único autovetor não-trivial é:
Mas como precisamos de um autovetor não-nulo, isso indica que tem apenas o vetor nulo, ou seja, não há autovetor associado a .

Resposta

Para a transformação linear em , os autovalores são (com multiplicidade 2), e . Os autovetores correspondentes são:
  • Para : e
  • Para :
  • Para : Não há autovetor não-nulo associado.

Exercícios relacionados

Calcular , sabendo que e .
Sejam os vetores e . Verifique que define um produto interno no .
Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Os autovalores de um operador linear são e , sendo e os respectivos autovetores associados. Determine .