Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x-y, x);
b) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z);
c) T: P2(R) P2(R) dada por T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b;
d) T: M(2,2) M(2,2) dada por T([lla & b c & d])=[cc2 c & a+c b-2 c & d].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes, determinantes e soluções de sistemas lineares. Vamos analisar cada parte do exercício uma por uma.

Passo 2

a) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x-y, x)

Primeiro, precisamos representar essa transformação linear por uma matriz. Para isso, vemos como a transformação age sobre os vetores da base canônica.
A transformação T pode ser escrita como:
T( x y ) = x - y x
Isso nos dá a matriz associada a T:
A = 1 & -1 1 & 0

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
Calculando A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & -1 1 & -lambda
O determinante é:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-lambda) - (-1)(1) = -lambda + lambda^2 + 1 = lambda^2 - lambda + 1
Então, a equação característica é:
lambda^2 - lambda + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 - lambda + 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 - 4 cdot 1 cdot 12 = 1 pm raiz-32
Como o discriminante é negativo, os autovalores são complexos:
lambda = 12 pm raiz32i

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a cada autovalor. Vamos usar a equação (A - lambda I)v = 0.
Para lambda = 12 + raiz32i:
A - lambda I = 1 - lambda & -1 1 & -lambda = 12 - raiz32i & -1 1 & -12 - raiz32i
Resolvendo o sistema:
(12 - raiz32i)v1 - v2 = 0 v1 + (-12 - raiz32i)v2 = 0
Podemos expressar v2 em termos de v1:
v2 = (12 - raiz32i)v1
Então, um autovetor correspondente é:
v = 1 12 - raiz32i
Similarmente, para lambda = 12 - raiz32i, o autovetor será:
v = 1 12 + raiz32i

Passo 6

b) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z)

Vamos seguir os mesmos passos: representar a transformação por uma matriz, encontrar os autovalores e depois os autovetores.

Passo 7

Representando T por uma matriz A:
A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 2
Encontrando a equação característica:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & -1 - lambda & 0 2 & 1 & 2 - lambda
Como a matriz é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
(1 - lambda)(-1 - lambda)(2 - lambda)
Então, a equação característica é:
(1 - lambda)(-1 - lambda)(2 - lambda) = 0

Passo 8

Resolvendo a equação característica:
(1 - lambda)(-1 - lambda)(2 - lambda) = 0
Os autovalores são:
lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 2

Passo 9

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.

Para lambda1 = 1:

(A - I) = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1
Resolvendo o sistema, obtemos:
v = 0 1 -2

Para lambda2 = -1:

(A + I) = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3
Resolvendo o sistema, obtemos:
v = 0 0 1

Para lambda3 = 2:

(A - 2I) = -1 & 0 & 0 -2 & -3 & 0 2 & 1 & 0
Resolvendo o sistema, obtemos:
v = 0 0 1

Passo 10

c) T: P2(R) P2(R) dada por T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b

Vamos representar essa transformação por uma matriz em relação à base x^2, x, 1.

Passo 11

A transformação T age da seguinte forma:
T(a x^2 + b x + c) = a x^2 + c x + b
Representando na base x^2, x, 1:
A = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0

Passo 12

Encontrando a equação característica:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 0 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 1 & -lambda
Calculando o determinante:
(1 - lambda) -lambda & 1 1 & -lambda = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = (1 - lambda)^2 (lambda + 1)
Então, a equação característica é:
(1 - lambda)^2 (lambda + 1) = 0

Passo 13

Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores:

Passo 14

Encontrando os autovetores para cada autovalor.

Para lambda1 = 1:

(A - I) = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1
Resolvendo o sistema, obtemos os autovetores:
v = v1 v2 v2 = v1 1 0 0 + v2 0 1 1
Então, a base de autovetores é 1 0 0 e 0 1 1.

Para lambda2 = -1:

(A + I) = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
Resolvendo o sistema, obtemos:
v = 0 1 -1

Passo 15

d) T: M(2,2) M(2,2) dada por T(a & b c & d)=2 c & a+c b-2 c & d

Para matrizes, representamos a transformação linear em termos de uma base para M(2,2). Vamos usar a base padrão composta pelas matrizes E11, E12, E21, E22.

Passo 16

Representando a transformação em termos da base padrão:
Aplicando T a cada uma das matrizes da base:
T(E11) = T(1 & 0 0 & 0) = 0 & 1 0 & 0 = E12
T(E12) = T(0 & 1 0 & 0) = 0 & 0 1 & 0 = E21
T(E21) = T(0 & 0 1 & 0) = 2 & 1 -2 & 0 = 2E11 + E12 - 2E21
T(E22) = T(0 & 0 0 & 1) = 0 & 0 0 & 1 = E22
Assim, a matriz de T na base padrão é:
A = 0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 17

Encontrando a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando o determinante da matriz A - lambda I:
det -lambda & 0 & 2 & 0 1 & -lambda & 1 & 0 0 & 1 & -2 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 1 - lambda = (1 - lambda) cdot det -lambda & 0 & 2 1 & -lambda & 1 0 & 1 & -2 - lambda
Calculando o determinante interno:
-lambda cdot det-lambda & 1 1 & -2 - lambda - 0 + 2 cdot det1 & -lambda 0 & 1 = -lambda (lambda^2 + 2lambda -1) + 2(1) = -lambda^3 - 2lambda^2 + lambda + 2
Então, a equação característica é:
(1 - lambda)(-lambda^3 - 2lambda^2 + lambda + 2) = 0

Passo 18

Resolvendo a equação característica:
(1 - lambda)(-lambda^3 - 2lambda^2 + lambda + 2) = 0
Encontramos lambda = 1 e resolvemos -lambda^3 - 2lambda^2 + lambda + 2 = 0. Multiplicando por -1:
lambda^3 + 2lambda^2 - lambda - 2 = 0
Testando possíveis raízes, encontramos lambda = 1:
1 + 2 - 1 - 2 = 0
Então, fatorando:
(lambda - 1)(lambda^2 + 3lambda + 2) = 0
Resolvendo lambda^2 + 3lambda + 2 = 0:
lambda = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12 Rightarrow lambda = -1 ou lambda = -2
Portanto, os autovalores são lambda = 1 (com multiplicidade 2), lambda = -1 e lambda = -2.

Passo 19

Encontrando os autovetores para cada autovalor.

Para lambda = 1:

Resolvendo (A - I)v = 0:
-1 & 0 & 2 & 0 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Do sistema, obtemos:
v1 = 2v3 v2 = 3v3 v4 livre
Então, os autovetores são da forma:
v = v3 2 3 1 0 + v4 0 0 0 1

Para lambda = -1:

Resolvendo (A + I)v = 0:
1 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 2
Da última linha, 2v4 = 0 Rightarrow v4 = 0. Resolvendo o restante:
v1 = -2v3 v2 = v3 v4 = 0
Então, os autovetores são:
v = v3 -2 1 1 0

Para lambda = -2:

Resolvendo (A + 2I)v = 0:
2 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3
Da última linha, 3v4 = 0 Rightarrow v4 = 0. Resolvendo o restante:
v3 = 0 v2 = 0 v1 = 0
Portanto, o único autovetor não-trivial é:
v = 0 0 0 0
Mas como precisamos de um autovetor não-nulo, isso indica que lambda = -2 tem apenas o vetor nulo, ou seja, não há autovetor associado a lambda = -2.

Resposta

Para a transformação linear T em M(2,2), os autovalores são lambda = 1 (com multiplicidade 2), lambda = -1 e lambda = -2. Os autovetores correspondentes são:
  • Para lambda = 1: v = 2 3 1 0 e v = 0 0 0 1
  • Para lambda = -1: v = -2 1 1 0
  • Para lambda = -2: Não há autovetor não-nulo associado.

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