Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) dada por ;
b) dada por ;
c) dada por ;
d) dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes, determinantes e soluções de sistemas lineares. Vamos analisar cada parte do exercício uma por uma.
Passo 2
a) dada por
Primeiro, precisamos representar essa transformação linear por uma matriz. Para isso, vemos como a transformação age sobre os vetores da base canônica.
A transformação pode ser escrita como:
Isso nos dá a matriz associada a :
Passo 3
Para encontrar os autovalores de , resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Calculando :
O determinante é:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo, os autovalores são complexos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a cada autovalor. Vamos usar a equação .
Para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar em termos de :
Então, um autovetor correspondente é:
Similarmente, para , o autovetor será:
Passo 6
b) dada por
Vamos seguir os mesmos passos: representar a transformação por uma matriz, encontrar os autovalores e depois os autovetores.
Passo 7
Representando por uma matriz :
Encontrando a equação característica:
Como a matriz é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Então, a equação característica é:
Passo 8
Resolvendo a equação característica:
Os autovalores são:
Passo 9
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos:
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos:
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos:
Passo 10
c) dada por
Vamos representar essa transformação por uma matriz em relação à base .
Passo 11
A transformação age da seguinte forma:
Representando na base :
Passo 12
Encontrando a equação característica:
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:
Passo 13
Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores:
Passo 14
Encontrando os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos os autovetores:
Então, a base de autovetores é e .
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos:
Passo 15
d) dada por
Para matrizes, representamos a transformação linear em termos de uma base para . Vamos usar a base padrão composta pelas matrizes .
Passo 16
Representando a transformação em termos da base padrão:
Aplicando a cada uma das matrizes da base:
Assim, a matriz de na base padrão é:
Passo 17
Encontrando a equação característica:
Calculando o determinante da matriz :
Calculando o determinante interno:
Então, a equação característica é:
Passo 18
Resolvendo a equação característica:
Encontramos e resolvemos . Multiplicando por :
Testando possíveis raízes, encontramos :
Então, fatorando:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2), e .
Passo 19
Encontrando os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo :
Do sistema, obtemos:
Então, os autovetores são da forma:
Para :
Resolvendo :
Da última linha, . Resolvendo o restante:
Então, os autovetores são:
Para :
Resolvendo :
Da última linha, . Resolvendo o restante:
Portanto, o único autovetor não-trivial é:
Mas como precisamos de um autovetor não-nulo, isso indica que tem apenas o vetor nulo, ou seja, não há autovetor associado a .
Resposta
Para a transformação linear em , os autovalores são (com multiplicidade 2), e . Os autovetores correspondentes são: