Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) dada por ;
b) dada por ;
c) dada por ;
d) dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes, determinantes e soluções de sistemas lineares. Vamos analisar cada parte do exercício uma por uma.
Passo 2
a) dada por
Primeiro, precisamos representar essa transformação linear por uma matriz. Para isso, vemos como a transformação age sobre os vetores da base canônica.
A transformação pode ser escrita como:
Isso nos dá a matriz associada a :
Passo 3
Para encontrar os autovalores de , resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Calculando :
O determinante é:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo, os autovalores são complexos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a cada autovalor. Vamos usar a equação .
Para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar em termos de :
Então, um autovetor correspondente é:
Similarmente, para , o autovetor será:
Passo 6
b) dada por
Vamos seguir os mesmos passos: representar a transformação por uma matriz, encontrar os autovalores e depois os autovetores.
Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores:
Passo 14
Encontrando os autovetores para cada autovalor.
Para lambda1 = 1:
(A - I) = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1
Resolvendo o sistema, obtemos os autovetores:
v = v1 v2 v2 = v1 1 0 0 + v2 0 1 1
Então, a base de autovetores é 1 0 0 e 0 1 1.
Para lambda2 = -1:
(A + I) = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
Resolvendo o sistema, obtemos:
v = 0 1 -1
Passo 15
d) T: M(2,2) M(2,2) dada por T(a & b c & d)=2 c & a+c b-2 c & d
Para matrizes, representamos a transformação linear em termos de uma base para M(2,2). Vamos usar a base padrão composta pelas matrizes E11, E12, E21, E22.
Passo 16
Representando a transformação em termos da base padrão:
Da última linha, 3v4 = 0 Rightarrow v4 = 0. Resolvendo o restante:
v3 = 0 v2 = 0 v1 = 0
Portanto, o único autovetor não-trivial é:
v = 0 0 0 0
Mas como precisamos de um autovetor não-nulo, isso indica que lambda = -2 tem apenas o vetor nulo, ou seja, não há autovetor associado a lambda = -2.
Resposta
Para a transformação linear T em M(2,2), os autovalores são lambda = 1 (com multiplicidade 2), lambda = -1 e lambda = -2. Os autovetores correspondentes são:
Para lambda = 1: v = 2 3 1 0 e v = 0 0 0 1
Para lambda = -1: v = -2 1 1 0
Para lambda = -2: Não há autovetor não-nulo associado.