Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelos gráficos das funções e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas funções e, em seguida, integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas funções se encontram, ou seja, quais valores de satisfazem . Igualando as duas funções:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção:
Isso nos dá duas soluções: e . Então, as funções se cruzam nos pontos e .

Passo 4

Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo de a . Para isso, vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como e , vemos que está acima de no intervalo considerado.

Passo 5

Sabendo que está acima de entre e , a área entre as curvas é dada pela integral da diferença nesse intervalo. Vamos calcular essa diferença:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Á
Integrando termo a termo:
Então:
Á

Passo 7

Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 3:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada pelas funções e é 9 unidades quadradas.

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Esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre a área dessa região.