Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelos gráficos das funções
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas funções e, em seguida, integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas funções se encontram, ou seja, quais valores de
satisfazem
. Igualando as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção:
Isso nos dá duas soluções:
e
. Então, as funções se cruzam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo de
a
. Para isso, vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
e
, vemos que
está acima de
no intervalo considerado.
Passo 5
Sabendo que
está acima de
entre
e
, a área entre as curvas é dada pela integral da diferença
nesse intervalo. Vamos calcular essa diferença:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 3:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas funções
e
é 9 unidades quadradas.
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e
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e
Esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre a área dessa região.