Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
, o eixo
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! A gente precisa esboçar o gráfico da região que está limitada por algumas curvas e linhas: a função
, o eixo
, e as linhas verticais
e
. Além disso, precisamos determinar a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, interseções e cálculo de áreas por integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que essa é uma função hiperbólica, que tem o formato de duas curvas simétricas em relação ao eixo
. Porém, como estamos lidando apenas com valores de
positivos (de
a
), vamos focar na parte da hipérbole que está à direita do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as curvas e linhas que limitam a região:
- Função:
- Eixo
: - Linhas verticais:
e
Essas linhas vão formar uma espécie de “paralelepípedo” no gráfico entre
e
.
Passo 4
Para visualizar melhor, vamos marcar os pontos de interseção:
- Quando
: - Quando
:
Assim, temos os pontos
e
na curva
.
Passo 5
Com esses pontos, podemos desenhar a região limitada pelas curvas e linhas mencionadas. A região estará abaixo da curva
, acima do eixo
, e entre
e
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que nos permite encontrar a área sob uma curva entre dois limites.
A fórmula para a área
é:
onde
,
e
.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Lembrando que
, a antiderivada de
é
, ou seja,
.
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas dadas é 0,8 unidades de área.
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