Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
, o eixo e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! A gente precisa esboçar o gráfico da região que está limitada por algumas curvas e linhas: a função , o eixo , e as linhas verticais e . Além disso, precisamos determinar a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, interseções e cálculo de áreas por integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que essa é uma função hiperbólica, que tem o formato de duas curvas simétricas em relação ao eixo . Porém, como estamos lidando apenas com valores de positivos (de a ), vamos focar na parte da hipérbole que está à direita do eixo .

Passo 3

Agora, vamos identificar as curvas e linhas que limitam a região:
  1. Função:
  2. Eixo :
  3. Linhas verticais: e
Essas linhas vão formar uma espécie de “paralelepípedo” no gráfico entre e .

Passo 4

Para visualizar melhor, vamos marcar os pontos de interseção:
  • Quando :
  • Quando :
Assim, temos os pontos e na curva .

Passo 5

Com esses pontos, podemos desenhar a região limitada pelas curvas e linhas mencionadas. A região estará abaixo da curva , acima do eixo , e entre e .

Passo 6

Agora, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que nos permite encontrar a área sob uma curva entre dois limites.
A fórmula para a área é:
onde , e .

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Lembrando que , a antiderivada de é , ou seja, .

Passo 8

Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas dadas é 0,8 unidades de área.

Exercícios relacionados

Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.
Determine o domínio da função
encontre a sua derivada e o domínio da derivada.
Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.