Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da região que é limitada pelos gráficos de duas funções quadráticas dadas e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de gráficos de funções quadráticas, encontrar os pontos de interseção delas e entender como calcular a área entre duas curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que delimitam a região:
e
Essas são duas parábolas que vamos precisar esboçar no gráfico.

Passo 3

Para entender melhor onde essas duas funções se encontram, precisamos encontrar os pontos de interseção delas. Isso significa encontrar os valores de onde as duas funções têm o mesmo valor de .

Passo 4

Vamos igualar as duas funções para encontrar os valores de :
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Agora, podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 6

Com os valores de encontrados, vamos determinar os correspondentes valores de usando uma das funções. Vamos usar .
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Agora, vamos esboçar os gráficos das duas funções:
  1. Para : Essa é uma parábola que abre para cima. O vértice pode ser encontrado completando o quadrado ou usando a fórmula .
  2. Para : Essa também é uma parábola, mas ela abre para baixo devido ao coeficiente de negativo.
Ao esboçar, identificamos que elas se encontram nos pontos e , e a região limitada está entre esses pontos.

Passo 8

Para encontrar a área entre essas duas curvas, vamos calcular a integral da diferença das funções no intervalo de a .
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando os coeficientes, vemos que está acima de entre e .
Então, a área é dada por:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Agora, substituímos e :

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos das funções é unidades quadradas.

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