Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da região que é limitada pelos gráficos de duas funções quadráticas dadas e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de gráficos de funções quadráticas, encontrar os pontos de interseção delas e entender como calcular a área entre duas curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que delimitam a região:
e
Essas são duas parábolas que vamos precisar esboçar no gráfico.
Passo 3
Para entender melhor onde essas duas funções se encontram, precisamos encontrar os pontos de interseção delas. Isso significa encontrar os valores de
onde as duas funções têm o mesmo valor de
.
Passo 4
Vamos igualar as duas funções para encontrar os valores de
:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Agora, podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, vamos determinar os correspondentes valores de
usando uma das funções. Vamos usar
.
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Agora, vamos esboçar os gráficos das duas funções:
-
Para
: Essa é uma parábola que abre para cima. O vértice pode ser encontrado completando o quadrado ou usando a fórmula . -
Para
: Essa também é uma parábola, mas ela abre para baixo devido ao coeficiente de negativo.
Ao esboçar, identificamos que elas se encontram nos pontos
e
, e a região limitada está entre esses pontos.
Passo 8
Para encontrar a área entre essas duas curvas, vamos calcular a integral da diferença das funções no intervalo de
a
.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando os coeficientes, vemos que
está acima de
entre
e
.
Então, a área
é dada por:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Agora, substituímos
e
:
Resposta
A área da região limitada pelos gráficos das funções é
unidades quadradas.
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