Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
, o eixo
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da região limitada pelas funções
, o eixo
, e as retas
e
. Além disso, precisamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das funções que limitam a região:
-
Função
: Essa é uma função exponencial modificada. Aqui, é uma constante base da exponenciação, e controla o decaimento da função conforme aumenta. -
Eixo
( ): É a linha horizontal que passa pelo ponto zero. -
Retas verticais
e : São linhas paralelas ao eixo que definem os limites laterais da nossa região.
Vamos precisar dessas informações para esboçar o gráfico e definir os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico:
-
Para
: Substituindo na função, . Então, a função passa pela origem. -
Para
: Substituindo, . -
Comportamento da função: À medida que
de 0 a 1 aumenta, diminui porque o expoente negativo faz a função decair. Então, a função começa em 0, sobe até em de forma decrescente.
O gráfico ficará limitado entre
e
, acima do eixo
.
Passo 4
Para encontrar a área da região, vamos integrar a função
de
a
. A integral definida nos dará a área sob a curva entre esses limites.
A fórmula da integral será:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Para isso, usamos a substituição:
-
Escolha da substituição:
Seja. Então, a derivada de em relação a é: Rearranjando, temos: -
Substituindo na integral:
-
Calculando a integral:
A integral deem relação a é: Então: -
Simplificando os limites:Portanto:
Resposta
A área da região limitada é
.
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(a)
(a)