Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
, o eixo e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da região limitada pelas funções , o eixo , e as retas e . Além disso, precisamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das funções que limitam a região:
  1. Função : Essa é uma função exponencial modificada. Aqui, é uma constante base da exponenciação, e controla o decaimento da função conforme aumenta.
  2. Eixo ( ): É a linha horizontal que passa pelo ponto zero.
  3. Retas verticais e : São linhas paralelas ao eixo que definem os limites laterais da nossa região.
Vamos precisar dessas informações para esboçar o gráfico e definir os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  1. Para : Substituindo na função, . Então, a função passa pela origem.
  2. Para : Substituindo, .
  3. Comportamento da função: À medida que de 0 a 1 aumenta, diminui porque o expoente negativo faz a função decair. Então, a função começa em 0, sobe até em de forma decrescente.
O gráfico ficará limitado entre e , acima do eixo .

Passo 4

Para encontrar a área da região, vamos integrar a função de a . A integral definida nos dará a área sob a curva entre esses limites.
A fórmula da integral será:
Á

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Para isso, usamos a substituição:
  1. Escolha da substituição:
    Seja . Então, a derivada de em relação a é:
    Rearranjando, temos:
  2. Substituindo na integral:
    Á
  3. Calculando a integral:
    A integral de em relação a é:
    Então:
    Á
  4. Simplificando os limites:
    Portanto:
    Á

Resposta

A área da região limitada é .

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(a)