Esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre a área dessa região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas
,
e a reta
. Depois, precisamos encontrar a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre gráficos de funções e como calcular áreas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam. A função
é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano, enquanto
é uma parábola que fica apenas no primeiro quadrante e nunca toca o eixo x. A reta
é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto 2.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde as curvas
e
se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Então, as duas curvas se interceptam quando
. Isso nos dá o ponto de interseção
.
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, vamos visualizar a região que estamos querendo calcular. Entre
e
, a curva
está abaixo de
. Portanto, para calcular a área entre essas curvas e a reta
, vamos integrar a diferença entre as duas funções de
até
.
Passo 5
A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
Aqui,
e
, e os limites de integração são de
até
. Então:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicando os limites de integração de 1 a 2:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
,
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
, o eixo
e
Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(a)
(a)
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
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