Esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre a área dessa região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas , e a reta . Depois, precisamos encontrar a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre gráficos de funções e como calcular áreas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam. A função é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano, enquanto é uma parábola que fica apenas no primeiro quadrante e nunca toca o eixo x. A reta é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde as curvas e se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Então, as duas curvas se interceptam quando . Isso nos dá o ponto de interseção .

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, vamos visualizar a região que estamos querendo calcular. Entre e , a curva está abaixo de . Portanto, para calcular a área entre essas curvas e a reta , vamos integrar a diferença entre as duas funções de até .

Passo 5

A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
Á
Aqui, e , e os limites de integração são de até . Então:
Á

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Agora, aplicando os limites de integração de 1 a 2:
Á
Sabemos que , então:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas , e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.
, o eixo e
Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(a)
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
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