Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região delimitada pelas funções
e
(que é o eixo
). Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, onde
. Como
, vamos resolver:
Dividindo ambos os lados por 3:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a área que queremos calcular. A função
cruza o eixo
nos pontos
,
e
. Para encontrar a área entre a curva e o eixo
, precisamos integrar
entre esses limites.
Passo 4
A área
pode ser calculada usando a integral definida:
Como a função
é ímpar (
), a área de
a
será duas vezes a área de
a
. Isso simplifica nossos cálculos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Substituindo de volta:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.
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, o eixo
e
Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.