Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região delimitada pelas funções e (que é o eixo ). Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, onde . Como , vamos resolver:
Dividindo ambos os lados por 3:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a área que queremos calcular. A função cruza o eixo nos pontos , e . Para encontrar a área entre a curva e o eixo , precisamos integrar entre esses limites.

Passo 4

A área pode ser calculada usando a integral definida:
Como a função é ímpar ( ), a área de a será duas vezes a área de a . Isso simplifica nossos cálculos:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Substituindo de volta:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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, o eixo e
Esboce o gráfico da região limitada pelos gráficos das funções e determine a área da região.