Determine o domínio da função
f(x) = ((t - 1) / (3 + t))^3
encontre a sua derivada e o domínio da derivada.

Passo 1

Tá, vamos lá! A gente precisa descobrir o domínio da função , encontrar a sua derivada, e também o domínio dessa derivada. Vamos usar conceitos de funções racionais e cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos uma fração . A gente sabe que uma fração não pode ter o denominador igual a zero, então vamos descobrir quando o denominador é diferente de zero.

Passo 3

Vamos resolver a inequação :
Isso significa que a função está definida para todos os valores de exceto .

Passo 4

Agora que temos o domínio de , vamos encontrar a derivada da função. A função é . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, temos:
Agora, precisamos derivar .

Passo 6

Para derivar , vamos usar a regra do quociente:
Aqui, e . Então:
Aplicando a regra:

Passo 7

Voltando à derivada original:

Passo 8

Por fim, vamos determinar o domínio da derivada . Assim como na função original, o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio da derivada é o mesmo que o da função original: todos os valores de exceto .

Resposta

  • Domínio da função: e .
  • Derivada da função: .
  • Domínio da derivada: e .

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