Determine o domínio da função
encontre a sua derivada e o domínio da derivada.
Passo 1
Tá, vamos lá! A gente precisa descobrir o domínio da função
, encontrar a sua derivada, e também o domínio dessa derivada. Vamos usar conceitos de funções racionais e cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos uma fração
. A gente sabe que uma fração não pode ter o denominador igual a zero, então vamos descobrir quando o denominador
é diferente de zero.
Passo 3
Vamos resolver a inequação
:
Isso significa que a função
está definida para todos os valores de
exceto
.
Passo 4
Agora que temos o domínio de
, vamos encontrar a derivada da função. A função é
. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Agora, precisamos derivar
.
Passo 6
Para derivar
, vamos usar a regra do quociente:
Aqui,
e
. Então:
Aplicando a regra:
Passo 7
Voltando à derivada original:
Passo 8
Por fim, vamos determinar o domínio da derivada
. Assim como na função original, o denominador
não pode ser zero:
Portanto, o domínio da derivada é o mesmo que o da função original: todos os valores de
exceto
.
Resposta
- Domínio da função:
e . - Derivada da função:
. - Domínio da derivada:
e .