Encontre as equações das retas tangentes à curva
nos pontos que a curva intersecta o eixo
do plano cartesiano. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas tangentes à curva
nos pontos onde essa curva intercepta o eixo
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para determinar a inclinação das tangentes e resolver equações relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta o eixo
. Isso acontece quando
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Calculando as raízes:
Então, os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Passo 6
Para encontrar as equações das retas tangentes, precisamos determinar a inclinação (coeficiente angular) em cada ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função
.
Passo 7
Calculando a inclinação nos pontos encontrados:
- No ponto
:
- No ponto
:
Passo 8
Com a inclinação e os pontos, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
- Para o ponto
e :
- Para o ponto
e :
Passo 9
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico. A curva
é uma parábola que abre para cima e intercepta o eixo
nos pontos
e
. As retas tangentes são
e
, que tocam a parábola precisamente nesses pontos.
Resposta
As equações das retas tangentes são:
Exercícios relacionados
Determine, caso existam, assíntotas verticais e horizontais da função
. Faça um esboço gráfico da situação.
Determine e justifique em quais valores de
a função a seguir é contínua e quais ela é descontínua:
Faça um esboço do gráfico.
Determine o domínio da função
encontre a sua derivada e o domínio da derivada.
Com o auxilio do gráfico, determine a área da região.