Encontre as equações das retas tangentes à curva y = x^2 - x - 2 nos pontos que a curva intersecta o eixo x do plano cartesiano. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas tangentes à curva nos pontos onde essa curva intercepta o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para determinar a inclinação das tangentes e resolver equações relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta o eixo . Isso acontece quando .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 5

Calculando as raízes:
Então, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 6

Para encontrar as equações das retas tangentes, precisamos determinar a inclinação (coeficiente angular) em cada ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função .

Passo 7

Calculando a inclinação nos pontos encontrados:
  • No ponto :
  • No ponto :

Passo 8

Com a inclinação e os pontos, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
  • Para o ponto e :
  • Para o ponto e :

Passo 9

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico. A curva é uma parábola que abre para cima e intercepta o eixo nos pontos e . As retas tangentes são e , que tocam a parábola precisamente nesses pontos.

Resposta

As equações das retas tangentes são:

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