Com auxílio da série de potências de arctg x, mostre que:
pi6=1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que:
pi6=1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1)
Para isso, vamos usar a série de potências da função arctg x (arctan(x)). Precisaremos conhecer a expansão em série dessa função e como aplicá-la para obter o resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de potências da arctg x. A série de Taylor de arctg x em torno de x=0 é:
arctg x = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 x^2n+1
Essa série é válida para |x| <= 1.

Passo 3

Para relacionar essa série com o exercício, vamos escolher um valor específico de x que nos ajude a obter a expressão que queremos. Observando a expressão do problema, notamos que o denominador contém 3^n. Isso sugere que possamos escolher x = 1raiz3, pois ao elevar esse valor à potência 2n+1, teremos fatores de 3^n no denominador.

Passo 4

Vamos substituir x = 1raiz3 na série de arctg x:
arctg(1raiz3) = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 (1raiz3)^2n+1

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da soma:
(1raiz3)^2n+1 = 1(raiz3)^2n cdot raiz3 = 13^n cdot raiz3 = 1raiz3 cdot 3^n
Então, a série fica:
arctg(1raiz3) = 1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n (2n+1)

Passo 6

Agora, precisamos saber o valor de arctg(1raiz3). Sabemos que:
arctg(1raiz3) = pi6
Pois tan(pi6) = 1raiz3.

Passo 7

Substituindo esse valor na equação anterior, temos:
pi6 = 1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1)
E assim, mostramos a igualdade proposta no exercício.

Resposta

Portanto,
pi6 = 1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1)

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