Com auxílio da série de potências de , mostre que:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que:
Para isso, vamos usar a série de potências da função (arctan(x)). Precisaremos conhecer a expansão em série dessa função e como aplicá-la para obter o resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de potências da . A série de Taylor de em torno de é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Para relacionar essa série com o exercício, vamos escolher um valor específico de que nos ajude a obter a expressão que queremos. Observando a expressão do problema, notamos que o denominador contém . Isso sugere que possamos escolher , pois ao elevar esse valor à potência , teremos fatores de no denominador.

Passo 4

Vamos substituir na série de :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da soma:
Então, a série fica:

Passo 6

Agora, precisamos saber o valor de . Sabemos que:
Pois .

Passo 7

Substituindo esse valor na equação anterior, temos:
E assim, mostramos a igualdade proposta no exercício.

Resposta

Portanto,

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No intervalo , mostre que:
Questão (valor 3.5)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
, em .