Com auxílio da série de potências de
, mostre que:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que:
Para isso, vamos usar a série de potências da função
(arctan(x)). Precisaremos conhecer a expansão em série dessa função e como aplicá-la para obter o resultado desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de potências da
. A série de Taylor de
em torno de
é:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Para relacionar essa série com o exercício, vamos escolher um valor específico de
que nos ajude a obter a expressão que queremos. Observando a expressão do problema, notamos que o denominador contém
. Isso sugere que possamos escolher
, pois ao elevar esse valor à potência
, teremos fatores de
no denominador.
Passo 4
Vamos substituir
na série de
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da soma:
Então, a série fica:
Passo 6
Agora, precisamos saber o valor de
. Sabemos que:
Pois
.
Passo 7
Substituindo esse valor na equação anterior, temos:
E assim, mostramos a igualdade proposta no exercício.
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
30 Determine o limite infinito
29.
30.
31.
32.
33.
34.
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No intervalo
, mostre que:
Questão (valor 3.5)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar
no ponto dado:
, em
.