Questão (valor 3.5)
Calcule os seguintes limites, caso existam: lim x 0 x-sen 3 x4 sen 3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns limites básicos e fazer uso de propriedades das funções trigonométricas próximas de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador . Sabemos que, quando está perto de zero, pode ser aproximado por . Mas aqui temos , então precisamos considerar como isso afeta a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão dividindo tudo por x - sin 3x4 sin 3x = 1 - sin 3xx4 sin 3xx para facilitar a análise:
Sabemos que , onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando esse limite conhecido, temos:
limx to 0 sin 3xx = 3
Então, substituindo de volta na nossa expressão:
1 - sin 3xx4 sin 3xx = 1 - 34 times 3 = -212

Resposta

O limite é .

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