Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar d z / d t no ponto dado:
z = x^2 * y + x * y^2 ; x = 2 + t^4, y = 1 - t^3, em t = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a regra da cadeia, que faz parte do cálculo diferencial. Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto quando . Para isso, vamos precisar das funções dadas:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como que depende de e , que por sua vez dependem de , a derivada de em relação a é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir nas funções e para encontrar seus valores nesse ponto:

Passo 6

Vamos também substituir nas derivadas de e :

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores encontrados na expressão da regra da cadeia:

Resposta

A derivada no ponto é igual a .

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