No intervalo , mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, no intervalo onde , a função logarítmica natural de , ou seja, , pode ser escrita como:
Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor (ou série de Maclaurin) para expandir em torno de um ponto específico, que nesse caso é . Precisamos entender como expandir funções usando séries e saber manipular somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
No nosso caso, a função é e vamos expandir em torno de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias de em :
Agora, avaliamos essas derivadas em :

Passo 4

Substituindo esses valores na série de Taylor, temos:
Isso simplifica para:
Aqui, observamos que cada termo da série alterna de sinal, por isso o , e a potência de 2 no denominador vem das derivadas avaliada em 2.

Resposta

Então, mostramos que para :

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Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
30 Determine o limite infinito
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Com auxílio da série de potências de , mostre que: