No intervalo
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, no intervalo onde
, a função logarítmica natural de
, ou seja,
, pode ser escrita como:
Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor (ou série de Maclaurin) para expandir
em torno de um ponto específico, que nesse caso é
. Precisamos entender como expandir funções usando séries e saber manipular somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
No nosso caso, a função é
e vamos expandir em torno de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias de
em
:
Agora, avaliamos essas derivadas em
:
Passo 4
Substituindo esses valores na série de Taylor, temos:
Isso simplifica para:
Aqui, observamos que cada termo da série alterna de sinal, por isso o
, e a potência de 2 no denominador vem das derivadas avaliada em 2.
Resposta
Então, mostramos que para
: