No intervalo 0, mostre que:
ln x=ln 2+sumn=1^infty (-1)^n+1(x-2)^nn 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, no intervalo onde ln x = ln 2 + sumn=1^infty (-1)^n+1(x-2)^nn cdot 2^n , a função logarítmica natural de , ou seja, , pode ser escrita como:
Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor (ou série de Maclaurin) para expandir em torno de um ponto específico, que nesse caso é . Precisamos entender como expandir funções usando séries e saber manipular somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)2!(x-a)^2 + f'''(a)3!(x-a)^3 + dots em torno de um ponto é dada por:
No nosso caso, a função é e vamos expandir em torno de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias de f(x) = ln x f'(x) = 1x f''(x) = -1x^2 f'''(x) = 2x^3 vdots em f(2) = ln 2 f'(2) = 12 f''(2) = -14 f'''(2) = 28 = 14 vdots :
Agora, avaliamos essas derivadas em :

Passo 4

Substituindo esses valores na série de Taylor, temos:
ln x = ln 2 + 12(x-2) - 14 (x-2)^22! + 14 (x-2)^33! - dots
Isso simplifica para:
ln x = ln 2 + sumn=1^infty (-1)^n+1 (x-2)^nn cdot 2^n
Aqui, observamos que cada termo da série alterna de sinal, por isso o , e a potência de 2 no denominador vem das derivadas avaliada em 2.

Resposta

Então, mostramos que para ln x = ln 2 + sumn=1^infty (-1)^n+1 (x-2)^nn cdot 2^n :

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