Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea
onde C é a elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é:
E a curva
é uma elipse dada por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral. Temos:
Passo 3
O Teorema de Green diz que:
Aqui,
é a região dentro da curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 6
Então, a integral dupla é igual a zero, o que significa que a integral de linha original também é zero.
Resposta
A integral curvilínea é igual a zero.
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Se
, ache
.
Seja
Mostre que é independente do caminho.
Mostre que
Seja
a parte do parabolóide
com
e seja
o traço de
no plano
. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial
.
Se
, ache
.