Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea ointC 2 x y d x+(x^2+y^2) d y onde C é a elipse 4 x^2+9 y^2=36.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é:
ointC 2xy , dx + (x^2 + y^2) , dy
E a curva 4x^2 + 9y^2 = 36 é uma elipse dada por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral. Temos:
P(x, y) = 2xy e Q(x, y) = x^2 + y^2

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, é a região dentro da curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (2xy) = 2x

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 2x - 2x ) , dA = integral duplaD 0 , dA = 0

Passo 6

Então, a integral dupla é igual a zero, o que significa que a integral de linha original também é zero.

Resposta

A integral curvilínea é igual a zero.

Exercícios relacionados

Se F(x, y, z) = x * y^2 * z^4 * i + (2 * x^2 * y + z) * j + y^3 * z^2 * k, ache nabla x F.
Seja F(x, y)=(2 x+y^3) i+(3 x y^2+4) j
Mostre que integralC F cdot d x é independente do caminho.
Seja S a parte do parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 com z ≥ 0 e seja C o traço de S no plano x y. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial F = 3 z i + 4 x j + 2 y k.
Se F(x, y, z) = x * y^2 * z^4 * i + (2 * x^2 * y + z) * j + y^3 * z^2 * k, ache nabla . F.