Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea ointC 2 x y d x+(x^2+y^2) d y onde C é a elipse 4 x^2+9 y^2=36.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é:
ointC 2xy , dx + (x^2 + y^2) , dy
E a curva 4x^2 + 9y^2 = 36 é uma elipse dada por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral. Temos:
P(x, y) = 2xy e Q(x, y) = x^2 + y^2

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, é a região dentro da curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (2xy) = 2x

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 2x - 2x ) , dA = integral duplaD 0 , dA = 0

Passo 6

Então, a integral dupla é igual a zero, o que significa que a integral de linha original também é zero.

Resposta

A integral curvilínea é igual a zero.

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