Seja F(x, y)=(2 x+y^3) i+(3 x y^2+4) j
Mostre que integralC F cdot d x é independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um campo vetorial e queremos mostrar que a integral de linha é independente do caminho. Isso está ligado ao conceito de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos verificar se o campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial cujo gradiente é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se ele satisfaz a condição . Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e de em relação a devem ser iguais.

Passo 3

Vamos identificar P = 2x + y^3 Q = 3xy^2 + 4 e partial Qpartial x = partialpartial x(3xy^2 + 4) = 3y^2 partial Ppartial y = partialpartial y(2x + y^3) = 3y^2 no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Observamos que:
partial Qpartial x = 3y^2 = partial Ppartial y
Como as duas derivadas são iguais, o campo satisfaz a condição para ser conservativo.

Passo 5

Como é conservativo, podemos afirmar que a integral de linha depende apenas dos pontos iniciais e finais de , e não do caminho seguido. Portanto, a integral é independente do caminho.

Resposta

A integral é independente do caminho porque o campo é conservativo.

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