Seja
Mostre que
é independente do caminho.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um campo vetorial
e queremos mostrar que a integral de linha
é independente do caminho. Isso está ligado ao conceito de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos verificar se o campo
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial cujo gradiente é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se ele satisfaz a condição
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
devem ser iguais.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Observamos que:
Como as duas derivadas são iguais, o campo
satisfaz a condição para ser conservativo.
Passo 5
Como
é conservativo, podemos afirmar que a integral de linha
depende apenas dos pontos iniciais e finais de
, e não do caminho seguido. Portanto, a integral é independente do caminho.
Resposta
A integral
é independente do caminho porque o campo
é conservativo.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Se
, ache
.
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea
onde C é a elipse
.