Seja
a parte do parabolóide
com
e seja
o traço de
no plano
. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos o Teorema de Stokes para o campo vetorial
, onde a superfície
é a parte do parabolóide
com
, e
é o contorno dessa superfície no plano
. Vamos precisar entender o Teorema de Stokes e aplicar alguns cálculos de cálculo vetorial para verificar se o teorema se sustenta nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
com a integral de linha de
ao longo do contorno
dessa superfície. Matematicamente, é expresso por:
Então, para verificar o teorema, precisamos calcular essas duas integrais e ver se são iguais.
Passo 3
Vamos começar calculando a rotacional de
, que é
. A rotacional é dada por:
Substituindo
:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. Para isso, precisamos parametrizar a superfície
e encontrar o vetor normal
.
A superfície
é dada por
com
, que é um parabolóide. Podemos parametrizar
usando coordenadas polares para simplificar:
O contorno
no plano
ocorre quando
, ou seja,
⇒
. Então,
é o círculo de raio 3 no plano
.
Para encontrar
, usamos:
Onde
é o vetor normal à superfície. Calculando a derivada parcial da parametrização em relação a
e
, e depois o produto vetorial, encontramos
.
Após os cálculos (que ficariam bem extensos aqui), acabamos com:
Mas, para simplificar, podemos usar a simetria e coordenadas polares para realizar a integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha
. O caminho
é o círculo de raio 3 no plano
, onde
.
Parametrizando
em coordenadas polares:
O vetor
é:
Substituindo
e
:
Integrando de
a
:
Resposta
Após os cálculos, verificamos que ambas as integrais são iguais a
. Portanto, o Teorema de Stokes está confirmado para o campo vetorial dado e a superfície considerada.
Exercícios relacionados
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea
onde C é a elipse
.
Se
, ache
.
Se
, ache
.
Seja
a região delimitada pelo cilindro
, pelo plano
e pelos planos
e
. Seja
a superfície de
. Se
, calcule
.